Noyau et Image

[Sheeppowa]

Bonjour à tous,
;);)
;);)
Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f et g deux éléments de L(E)
Montrer que : kerf ;) ker(gof) et Im(gof) ;) Img

Voilà ce que j'ai fait pour la première inclusion, a vrai je ne suis pas du tout sur de moi, je ne voyais pas par ou commencer.
Pour x;)E
x ;) kerf ;);) f(x)=0(E) mais on peut aussi dire que f(x) ;) kerg ;);) gof(x)=0 or le fait que gof(x)=0 signifie aussi que x ;) ker(gof) donc kerf ;) ker(gof)

Si ce n'est bon, pouvez vous m'éclairer sur la méthode a suivre ?

[Sourire_banane]

Bonjour à tous,
;)
;)
Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f et g deux éléments de L(E)
Montrer que : kerf ker(gof) et Im(gof) Img

Voilà ce que j'ai fait pour la première inclusion, a vrai je ne suis pas du tout sur de moi, je ne voyais pas par ou commencer.
Pour x;)E
x kerf ;) f(x)=0(E) mais on peut aussi dire que f(x) kerg ;) gof(x)=0 or le fait que gof(x)=0 signifie aussi que x ker(gof) donc kerf ker(gof)

Si ce n'est bon, pouvez vous m'éclairer sur la méthode a suivre ?

Yo,

Si x appartient à ker(f), il faut montrer que x appartient à ker(g(f)), et ça c'est aisé.
Reviens à la définition de ker(f) et de ker(gof).

PS : Bon si tu veux la méthode, c'est que si x appartient à ker(f), alors f(x)=0E
Or gof(x)=g(f(x))=g(0E)=0E puisque g est dans L(E). Donc x appartient à ker(gof).
Je te laisse te frotter à l'autre.

[Sheeppowa]

Merci je vais faire ce que tu m'a dit, la méthode que tu m'a donné dans ton PS était celle que j'avais faite en premier mais j'étais pas sur du g(o)=o ^^, merci en tout cas.

[Sourire_banane]

Faut jamais oublier que certaines hypothèses sont pas là pour faire joli :)

[Sheeppowa]

Tu as tout a fait raison, c'est pour ça qu'il faut s'entrainer pour pouvoir utiliser a bien toute les hypothèses que l'on nous donne :p.
Pour la deuxième qui est je le rappelle de montrer que Im(gof) ;) Im(g), voilà ce que j'ai :

Soit x ;) Im(gof) ;);) ;) y ;) E / gof(y)=x
Comme f est un élément de L(E), on a x' ;) Imf ;);) ;) y ;) E / f(y)=x'
or gof(y)=x ;);) g[f(y)]=x soit g(x')=x et cela signifie aussi que
x ;) Img ;);) ;) x' ;) E / g(x')=x, donc Im(gof) ;) Im(g)

[Sourire_banane]

Soit x Im(gof) ;) y E / gof(y)=x

Edit : Oui c'est bon.

Soit x Im(gof) ;) y E / gof(y)=x
Comme f est un élément de L(E), on a x' Imf ;) y E / f(y)=x'
or gof(y)=x ;) g[f(y)]=x soit g(x')=x et cela signifie aussi que
x Img ;) x' E / g(x')=x, donc Im(gof) Im(g)

On peut faire plus court en s'embrouillant moins (tu viens introduire Im(f) sur lequel on n'a aucune hypothèse) : Définis Im(gof) et remarque que gof(x)=g(f(x))=g(z), puis justifie que z est dans E puisque f est dans L(E).

Edit 2 : Evite d'utiliser les signes d'implication et d'équivalence. On préfèrera toujours que tu énonces ton raisonnement en français, avec des connecteurs logiques qui sont plus instinctifs et parlent tout de suite à l'esprit. A force d'utiliser les-dit signes, on finit par les utiliser à tort et à travers. Et ça fait tache dans un devoir ou sur un papier.

[Sheeppowa]

ahh oui d'accord j'ai compris, effectivement c'est bien plus rapide ^^, mais c'est une erreur d'avoir introduit Imf ou ce que j'ai fait reste valable. Merci pour la méthode !
Je vais suivre tes conseils :), merci encore, passe une bonne journée :we: