Image et noyau d'une matrice

[Jimmy2fois]

Bonjour, j'ai une matrice :
M=
1 -1 2
2 3 -1
0 1 -1

je dois calculer le noyau et l'image.
Pour le noyau j'ai trouvé : Ker(u)=vect(1,-1,-1)
c'est pour l'image que je galère :

x1 -x2 +2x3 = y1
2x1 +3x2 -x3 = y2
0x1 +x2 -x3 = y3

je ne vois pas comment il faut faire ensuite...
Merci à vous

[benekire2]

Salut ! Quelle est la définition de l'image ? Conclusion ?

[Vahngal]

Lorsque tu souhaites étudier le noyau d'un endormorphisme, tu cherches l'ensemble des x tels que f(x)=0

Si tu considères la matrice associée à ton endormorphisme, chercher le noyau de la matrice c'est chercher X tel que MX=0 (matrice dont les coeff sont nuls)

[Jimmy2fois]

???

Mx=0 c'est pour le noyau...
C'est pas bon ce que j'ai fait ?

[Jimmy2fois]

rang(u)=Dim(E)-Dim(ker(u)) = 3 - 1 =2
du coup et je peux dire que C3+C2=C1 donc Im(u)=vect(C2,C3) ??

[Vahngal]

Pardon j'ai cru avoir lu ..." c'est pour le noyau que je galère "

En effet il faut utiliser le théorème du rang, qui t'indique que la dimension de l'image est 2. Après, tu peux prendre 2 vecteurs colonnes non colinéaires pour définir l'image.

edit : c'est juste

[Jimmy2fois]

-a+2b=0
3a-b=0
a-b=0

du coup a=b=0 donc c'est une famille libre
donc Im(u)=vect(-1,3,1 ; 2,-1,-1 ) ?? c'est ça ??

[benekire2]

Salut !
Ce que je voulais dire c'est que il faut regardé par quoi est engendré ton image par définition de ta matrice ... les vecteurs (1, 2, 0) , (-1, 3, 1) et (2, -1, -1) Ainsi Im u= Vect((1, 2, 0) , (-1, 3, 1),(2, -1, -1))=Vect( (-1, 3, 1),(2, -1, -1))

[fourize]

Bonjour,

je me suis toujours demander pourquoi on ne fait pas X = Y ?

d'autant plus que M est inversible :mur:

[benekire2]

Cela ne te fais pas gagner de temps d'autant plus que la matrice de l'application n'est certainement pas inversible puisque les colonnes sont liées !