Noyau et image d'un polynome

[Anonyme]

bonjour a tous je ne sais pas comment m'y prendre pour ce probleme:

notons pour tout k appartenant a N : Nk=Ker(u^k) et Ik=Im(u^k)
considerons le R-espace vectoriel (R[x],+,.) et l'endomorphisme u de R[x] defini par:
pout tous P appartenant a R[x] , u(P)=P'

determiner pour tout entier naturel k , Nk et Ik

quelqu'un pourait il m'indiquer la demarche a suivre

[Zebulon]

Bonsoir,
raisonne de même pour déterminer .
Zeb.

[serge75]

Tout polynôme admet une primitive dans R[X] ; en d'autres termes, u est surjectif, et donc ses itérés le sont aussi (une composée de deux surjections est une surjection). Donc tes Ik sont tous égaux à R[X].
On notera au passage que la suite des noyaux est strictement croissante et la suite des images est stationnaire, contrairement à ce qui se passe en dimension finie : dès que I_k=I_(k+1), alors K_k=K_(k+1).
Cordialement.