Normes

[MacManus]

Bonsoir,

Il s'agit d'un exercice concernant la " non-continuité " d'une application,
seulement je me pose plusieurs questions...

Soit a,b avec a < b.
notations : l'espace des fonctions continues de R dans K à support compact.

Montrer que l'identité de dans n'est pas continue.


1. L'identité est en fait l'application identité : qui est est linéaire et continue ssi et sont équivalentes ?
Donc si je veux montrer que l'identité n'est pas continue, je dois finalement montrer que ces 2 normes ne sont pas équivalentes c'est bien ça ??

2. Sinon est-ce que je peux choisir une fonction f de qui ne vérifie pas : , ?

Voilà je ne sais pas si ce que j'avance est correct ou non.
Je ne sais pas bien par quoi commencer...
Quelqu'un peut-il m'aider svp?
Merci beaucoup!

[jeje56]

La deuxième idée est bonne. Trouve une suite de fonctions dont la norme b tend vers l'infini et la norme a reste constante, ainsi tu contredis la propriété de la continuité. Les normes sont précisées ?

[MacManus]

Salut Jeje56 merci ;)

Oui je suis du même avis que toi : opter pour introduire une suite de fonctions. (je peux d'ailleurs la choisir affine par morceaux ?)
les normes a et b sont définies de la même façon que la norme p (pour p différent de l'infini) je pense.

[jeje56]

Après réflexion, je penche plutôt pour la première idée...

En effet, trouver une suite de fonctions vérifiant les conditions nécessaires me semble difficile si les normes a et b ne sont pas plus "explicites"...

Par contre on sait que toutes les normes sont équivalentes sur un espace vectoriel de dimension finie... L'ensemble des applications continues de R dans K est de dimension finie ?...

Amicalement ;-)

[quinto]

Bonjour,
bien sur que l'espace vectoriel n'est PAS de dimension finie et que les normes sont explicites...

Ici il suffit de trouver une suite de fonctions qui converge pour une norme et pas pour l'autre.

Tu peux te ramener à a=1 et b=2 sans trop de problème si tu veux.
Le cas b=infini est presque trivial.

[jeje56]

Bonjour,
bien sur que l'espace vectoriel n'est PAS de dimension finie et que les normes sont explicites...

Autant pour moi ^^ :hum:

[quinto]

Si tu ne le vois pas tu n'as qu'à te dire que les fonctions polynômiales sont incluses dans ton espace.

Tu as la liberté de la famille
{1,x,x^2,...}

[jeje56]

Oui c'est vrai... merci pour ton indication :-)

[MacManus]

Hmmm.....Je ne vois pas pourquoi les fonctions polynômiales feraient parties de l'espace des applications linéaires continues à support compact.
Pouvez-vous m'expliquer dans ce cas. Merci à vous pour votre aide.

[quinto]

C'est quoi une application linéaire continue à support compact ?

Effectivement ici les applications doivent être à support compact.

Peu importe, on en prend une et on multiplie par les polynômes que je donne.

[MacManus]

En fait le support d'une fonction c'est le plus petit compact [a,b] où quelque soit x [a,b] f(x) est non nul. Donc en dehors du compact, f est nulle.

C'est pour ça que je ne parvenais pas à faire le lien.

[MacManus]

Soit a,b avec a < b.
notations : l'espace des fonctions continues de R dans K à support compact.

Montrer que l'identité de dans n'est pas continue.

Je dois alors trouver une suite de fonctions à support compact qui converge pour une norme et qui diverge pour l'autre norme. Quelqu'un aurait-il une idée d'une telle suite de fonctions ??

Merci de bien vouloir me guider.

[MacManus]

Soit a,b avec a < b.
notations : l'espace des fonctions continues de R dans K à support compact.

Montrer que l'identité de dans n'est pas continue.

Je ne parviens pas à trouver une suite de fonctions à support compact, qui convergerait pour une norme et pas pour l'autre. Les normes a et b sont définies dans le sens où mes fonctions sont Lebesgue-intégrables ?

Quelqu'un peut-il m'aider ?

merci beaucoup

[jeje56]

Je ne vois pas non plus d'exemple d'une telle suite de fonctions...

Quelqu'un a-t-il une idée ?

Merci bcp ;-)