Je voudrais savoir si cette inégalité existe :
[CENTER]
N étant une norme.
si oui, comment peut-on la prouver ?
Merci,
Normes
5 messages
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par barbu23 » 27 Sep 2007, 01:18
Bonjour :
Soit
un espace vectoriel de dimension fini sur 
ou 
.
Soit \in E $)
 = \sup_{i=1,...,n} \| x_{i} \| $)
 = (\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} $)
Alors il est facile de voir que :
 \leq N_{p}(x) $)
C'est à dire :
^{\frac{1}{p}} $)
En effet :
On a :^{p} = x_{r}^{p} \leq x_{1}^{p} + ... + x_{r}^{p} + ... + x_{n}^{p} \hspace{10cm} \Longrightarrow \hspace{10cm} \sup_{i=1,...,n} \| x_{i} \| \leq (\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} $)
Tu peux appliquer la même chose à la seconde inégalité !!
Soit
Soit
Alors il est facile de voir que :
C'est à dire :
En effet :
On a :
Tu peux appliquer la même chose à la seconde inégalité !!
par barbu23 » 27 Sep 2007, 01:25
Biensûr que ton inégalité existe parceque dans un espace vectoriel de dimension fini ,toutes les normes sont équivalentes, et toi tu as pris xomme normes : 
et 
qui sont deux normes définies sur l'espace vectoriel , donc ils sont équivalentes, et par définition de l'équivalence de deux normes quelconques, on aboutit à l'inégalité que tu as écrit !!
par Joker62 » 27 Sep 2007, 07:41
Bé déjà la définition de deux normes équivalentes c'est IL EXISTE DEUX REELS STRICTEMENT POSITIFS tel que
alpha N_1(x) <= N_2(x) <= beta N_1(x)
Rien nous dit que ton alpha vaut 1 et ton beta vaut n^(1/p)
alpha N_1(x) <= N_2(x) <= beta N_1(x)
Rien nous dit que ton alpha vaut 1 et ton beta vaut n^(1/p)
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