Normes

[sad13]

Bonsoir, j'ai un problème avec un exercice de Polytech ds le livre Ed Cassini "exercices oraux X ENS" algèbre 3 page 33 pr ceux qui ont le livre:

On pose N(A)=racine carrée( Tr(tAA)) pr A dans Mn(R), on montre que N est une norme et , que N(AB)<=N(A).N(B) et on doit la comparer avec d'autres normes de Mn(R) :

On a : A=(aij)1<=i,j<=n, posons ||A||1= Somme 1<=i,j<=n |ai,j | et ||A||infinie = max des valeurs absolues coefficients ai,j.

Ils les définissent sur Mn(C) et affirment que : "

||A|| infinie <=N(A)<= n.||A||infinie et les constantes sont optimales

On a aussi: N(A)<=||A||1<=n.N(A) avec des constantes également optimales. "

je ne comprends ce qui est souligné ou plutôt je n'arrive pas à le démontrer malgrès beaucoup de réflexion,; merci

[Skullkid]

As-tu exprimé N(A) (qui s'appelle la norme 2, pour info) en fonction des coefficients de A, pour commencer ?

[sad13]

N(A)²= Somme (ai,j ²) pr 1<=i,j<=n

[Skullkid]

Exact, et que dire des a_ij² par rapport à la norme infini de A ?

[sad13]

ben elle est inférieure ou égale au carré de la norme infinie

[Skullkid]

Oui, chaque a_ij² est inférieur au carré de la norme infini de A, donc la somme des a_ij² est inférieure à ... et donc N(A) est inférieure à ...

[sad13]

Comme la somme des ai,j² va de un à n cela revient à multiplier *n et de l'autre coté c'est normal que N(A) soit >= à la norme infinie de A car la somme des carrés des coefficients est supérieure au max de l'un d'eux.

Il nous reste l'autre inégalité

[Doraki]

Comme la somme des ai,j² va de un à n cela revient à multiplier *n et de l'autre coté c'est normal que N(A) soit >= à la norme infinie de A car la somme des carrés des coefficients est supérieure au max de l'un d'eux.

Il nous reste l'autre inégalité

euh t'oublies pas des racines dans l'histoire ?
Qu'est-ce qui revient à multiplier par n ?
La somme va pas de 1 à n, la somme fait varier deux indices, i et j, de 1 à n, alors c'est pas clair ce que tu dis.
Et la somme (1/1000)² + (1/1000)² + (1/1000)² + (1/1000)² n'est pas supérieure au max des 1/1000

[sad13]

effectivement, j'ai fait un gros mélange bon je sature dsl