A=A² MQ si A ⧣ 0 ⇒ (Ⅰ-A) non inversible

[Flirno]

Bonjour,
la question suivante m'est posé lors d'un DM sur les matrices :

Si A=A² Montrez que A ⧣ 0 ⇒ ( Ⅰ-A) non inversible

Avec A une matrice carré de dimension n, Ⅰ la matrice identité, et 0 la matrice nulle.

Pour simplifier la tâche j'ai cherché à prouver sa contraposée càd :

Si A=A² Montrez que (Ⅰ-A) inversible ⇒ A = 0

Et je bloque après avoir fait ça :
On a A=A² et (Ⅰ-A)×(Ⅰ-A)^(-1) = Ⅰ

⇔ (Ⅰ-A²) × (Ⅰ-A²)^(-1) = Ⅰ

Mais je ne peux pas développer parce que la puissance -1 me gène...
Le but étant d'arriver à A=0

Quelqu'un à ma rescousse ?

(PS : je ne sais pas pourquoi mon message s'est mis en supérieur mais je suis en TS)

[infernaleur]

Salut,
A=A^2 c’est la même chose que A*(I-A)=0
Donc quand tu as écris (I-A)*(I-A)^(-1)=I, multiplies à gauche l’égalité par une certaine matrice et tu arriveras à À=0

[Flirno]

Merci ta réponse m'a bien guidé,
En multipliant par A à gauche j'obtient 0*(I-A)^(-1)=A*I
Donc 0=A

Merci bien et bonne après-midi à toi