Nombres complexes

[Vexalord]

Bonjour, je bloque sur cet exercice, pouvez-vous m'aider ?

Soit alpha un réel non congru à pi/2 modulo pi et t=tan(alpha).

1. Quelle est la forme exponentielle de z=(1+it)/(1-it) ?

2. Mettre z sous forme algébrique et en déduire que cos(2alpha)=(1-t²)/(1+t²) et sin(2alpha)=(2t)/(1+t²).

3. Trouver les nombres réels alpha vérifiant l'équation : ((1+itan(alpha))/(1-itan(alpha)))²=-i.

[pascal16]

1-> formule d'Euler pour la tangente
-> mise sous même dénominateur
-> simplification générale en 1 seul exp

[mathelot]

1-> formule d'Euler pour la tangente
-> mise sous même dénominateur
-> simplification générale en 1 seul exp

pour mémoire, la formule d'Euler, c'est écrire
avec

[pascal16]

et avec ça, on sait écrire cos(α) en fonction de l'exponentielle complexe, sin(α) en fonction de l’exponentielle complexe et tan(α) en fonction de l'exponentielle complexe.

tan(α) = un truc avec des exp....

[Vexalord]

Merci, je bloque aussi sur celui-là : On considère l'équation : .

1. Soit une solution non nulle de , calculer le module .

2. En remplaçant par dans , trouver les 4 solutions non nulles de .

3. Ecrire ces solutions sous forme cartésienne (forme algébrique)

4. Montrer que l'équation est équivalente à l'équation .

[mathelot]

équation (*)

prendre les modules

[Vexalord]

et avec ça, on sait écrire cos(α) en fonction de l'exponentielle complexe, sin(α) en fonction de l’exponentielle complexe et tan(α) en fonction de l'exponentielle complexe.

tan(α) = un truc avec des exp....

Je trouve mais je n'arrive pas à simplifier (ohlala, j'ai honte ), comment on fait ?

[Vexalord]

équation (*)

prendre les modules

Les modules de et de ?

[mathelot]

équation (*)

prendre les modules

Les modules de et de ?

oui, deux nombres complexes égaux ont leurs modules égaux

[pascal16]

tu écris la grosse fraction (1+it)/ (1-it)
tu remplaces t
le i² a la bonne idée de devenir -1
tu multiplies en haut et en bas par

et la moitié des exp s'en vont, puis se simplifient

[Vexalord]

tu écris la grosse fraction (1+it)/ (1-it)
tu remplaces t
le i² a la bonne idée de devenir -1
tu multiplies en haut et en bas par

et la moitié des exp s'en vont, puis se simplifient

Quand je fais ce que tu me dis j'obtiens ! C'est pas normal ça ! C'est qu'il doit y avoir une erreur dans l'expression que j'ai trouvé pour la tangente. Donc Est-ce que mon expression de la tangente est correcte ?

[mathelot]

tu écris la grosse fraction (1+it)/ (1-it)
tu remplaces t
le i² a la bonne idée de devenir -1
tu multiplies en haut et en bas par

et la moitié des exp s'en vont, puis se simplifient

Quand je fais ce que tu me dis j'obtiens ! C'est pas normal ça ! C'est qu'il doit y avoir une erreur dans l'expression que j'ai trouvé pour la tangente. Donc Est-ce que mon expression de la tangente est correcte ?

(énoncé 1) tu peux multiplier ton quotient haut et bas par

[Vexalord]

Quel quotient ?

[mathelot]

(1+it)/(1-it) avec

[Rdvn]

Bonjour
Pour z=(1+it)/(1-it) : observer que 1+it n'est jamais nul et que 1-it est son conjugué simplifie largement la question 1. Attention : alpha n'est pas toujours un argument de 1+it : il faut envisager deux cas, en s'aidant du cercle trigonométrique.
Cordialement
Rdvn

[Vexalord]

Pour la 1. j'ai trouvé . C'est bon ou pas ?

[mathelot]

Pour la 1. j'ai trouvé . C'est bon ou pas ?

oui, c'est ok.

[Vexalord]

Pour la 2. je trouve mais je n'arrive pas à obtenir

[Rdvn]

Bonjour
Pour z=(1+it)/(1-it) : on simplifie largement la question 1 en observant que 1-it est le conjugué de 1+it,
on trouve facilement un argument de 1+it à l'aide du cercle trigonométrique (deux cas).
La question 2 utilisera la 1.
Cordialement
Rdvn

[mathelot]

on en est à


multiplie le dernier quotient, haut et bas, par 1+it