Exercice nombres complexes

[Luciole]

Bonjour tout le monde !
Je suis en prépa BCPST-VETO, et je me permet de solliciter votre aide dans le cadre d'un exercice que j'ai à faire, il s'agit de nombres complexes ... et je suis complètement bloqué, déjà pas très matheuse à la base (pourtant j'me bat j'vous jure !) je n'arrive pas à démarrer ! :cry: Je vous donne l'énoncé en entier et si quelqu'un pouvait me donner une piste pour démarrer ce serait vraiment gentil ...

On considère le nombre complexe z = cos (2pi)/7 + i sin (2pi)/7 (encore noté exp ( i (2pi)/7).
On admet la formule de De Moivre.

1) On pose S = z+z^2+z^4 et T=z^3+z^5+z^6.
Montrer que cos (12pi/7)=cos(2pi/7) et sin(12pi/7)=- sin (2pi/7).
En déduire que zbar = z^6.

2)Calculerz^7 puis montrer que S et T sont conjugués.

3) Calculer S+T. penser aux suites géométriques.

4) Calculer U=cos(2pi/7) + cos (4pi/7) + cos(8pi/7).

je cherche désespèrèment la question 1 pourtant je pense que le début ne doit pas être compliqué ... donc je vous remercie d'avance du coup de pouce que vous pourriez me donner ! :we:

[nekros]

Salut,

Tu peux remarquer que

Même démarche avec le sinus.

Pour montrer que , il suffit d'utiliser la formule de Moivre :



A+

[jose_latino]

Bonjour Luciole
(c'est une autre manière d'exprimer la formule de Moivre.
Alors , on a que:

etc. en sommant tu obtiendras la réponse.

[nekros]

Salut jose latino :lol4:

[nekros]

Salut jose latino ^^

[haydenstrauss]

cos a = cos b donc a=b +2k pi

[nekros]

...ou ^^

A+

[haydenstrauss]

mille escuse j'avais oublier

[Luciole]

:we: J'vous remercie tous pour vos réponses en effet c'était pas très compliqué mais j'ai du mal à jongler avec les complexes et la trigo ^^ Maintenant que j'ai compris je devrais m'en sortir ! J'vais bientôt passer à la question 3 ! :id: :++: Encore merci pour le temps que vous m'avez accordé !

[jose_latino]

Utilise la formule

[Luciole]

Oui j'ai utilisé cette formule après m'être servie de celle de la somme d'une suite géométrique et j'ai trouvé S+T=0. Je suis à présent à la question 4 et je suppose que pour le calcul de U il faut se servir de la périodicité des fonctions sinus et cosinus comme pour la question 1. Je vais y arriver ! (motivée ! :we: )
Encore merci ^^

[jose_latino]

Oui j'ai utilisé cette formule après m'être servie de celle de la somme d'une suite géométrique et j'ai trouvé S+T=0. Je suis à présent à la question 4 et je suppose que pour le calcul de U il faut se servir de la périodicité des fonctions sinus et cosinus comme pour la question 1. Je vais y arriver ! (motivée ! :we: )
Encore merci ^^

Ce n'est pas 0 la réponse. Il faut utiliser la formule pour , mais n'oublie pas de remplacer correctement et :id:

[Luciole]

J'ai beau refaire le calcul encore et encore je trouve toujours la même chose ... :triste:
J'ai fait : S+T = z +z^2+z^3+z^4+z^5+z^6
on remarque qu'il s'agit là de la somme des n=6 premiers termes d'une suite géométrique de raison q=z.
La somme vaut : S+T = 1*(1+z+...+z^6)
d'après la formule : S+T= (z^7-1)/(z-1)
J'ai trouvé z^7=1 donc S+T = O ....

Par ailleurs pour la question 2 pour montrer que S et T sont conjugués je suis passée trop vite et et j'ai fait n'importe quoi .. :briques: j'ai commencé par calculer les sommes S et T mais je ne pense pas que cela soit indispensable ?!

Chui dsl j'abuse encore de vous mais si vous avez une piste (ça semble si facile pour vous ! :id: ) je ne crache pas dessus ...

Merci ! :we:

[jose_latino]

alors tu as:

[Luciole]

Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah ! (avec la bouche grande ouverte ^^ :ptdr: ) J'ai compris !!! :we: merci beaucoup jose_latino ! :++: