Nombres complexes

[mito94]

bonjour à tous !!

je n'arrive pas a résoudre dans C l'équation suivante : z^8+1=0
Je me dis que cela fait z^8=-1 donc (a+ib)^8=-1 donc a+ib=(-1)^1/8 donc module de a+ib = rac(a^2+b^2)=(-1)^1/8 ==> a^2+b^2= (-1)^1/4 ... enfin je bloque quoi

merci de votre aide

[messinmaisoui]

J'aurais fait quelque chose comme ça
=>

(a+ib)^8=-1
<=>(a+ib)^8=i²
<=>(a+ib)^8=(i²)^4
<=>(a+ib)^8=i^8
<=>(a+ib)^8=(0 +i1)^8 ...

[arnaud32]

essaye plutot

[mito94]

J'aurais fait quelque chose comme ça
=>

(a+ib)^8=-1
(a+ib)^8=i²
(a+ib)^8=(i²)^4
(a+ib)^8=i^8
(a+ib)^8=(0 +i1)^8 ...

Je comprend toutes les puissances paires de i font que i=-1 donc i^2 et i^8 sont égales et valent -1 c'est sa?

ensuite je concluerais en faisant le module de i^8 = 1
et arg(8i)=1?

[Sylviel]

C'est un peu confus comme explication, mais ça m'a l'air bon.

Je te conseille effectivement de passer par une écriture exponentielle (ou l'application des fonctions modules et argument à l'équation) pour arriver à (si z est solution alors) :
|z| = ...
arg(...)=...[...]

P.S : sa = la sienne
ça = cela

[mito94]

je n'arrive pas a conclure justement je bloque

[Sylviel]

et bien si tu as
z^8=-1
1) et que tu appliques le module de chaque côté tu obtiens ?
2) et que tu appliques la fonction argument de chaque côté tu obtiens ?

[mito94]

:hum: j'obtient que le module de z est égale a 1 et que l'argument de z aussi :hum:

[Sylviel]

je suis d'accord pour le module, donc r=1 (c'est la moitié de gagné) mais pas pour l'argument.

arg(z^8) = arg(-1)

que vaut arg(-1) ?
que vaut arg(zz') ?

[mito94]

J'ai toujours du mal a trouver l'argument en faite , je sais que cos = re(z)/module de z et sin= im(z)/module de z mais apres je sais pas en déduire l'argument exemple si je trouve cos=1/2 et sin=rac(3)/2 je sais que c'est pie /3 mais je sais pas rédiger ( lacunes de terminal...)
Je sais pas si faut que je dise arg(z)=1/2+isinrac(3)/2 donc téta = pie /3 ou quoi..

Sinon arg(-1)=0 puisque c'est un reel non? :mur:


arg(zz')=arg(z)+arg(z')
donc arg(z^8)=arg(z)+arg(z)+....+arg(z).

[Sylviel]

Non, il faut voir l'argument comme l'angle entre le vecteur OI (de ton repère OIJ classique) et le vecteur OM (où M est la point d'affixe z, c'est à dire représenté par z). Donc il "suffit" de placer ton point (ici -1) et de te demander quel angle il fait :id: (je te renvoies : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_complexes#Forme_polaire pour en savoir plus).

Bien pour les formules sur les arguments (elles viennent directement des formules sur les puissances, si tu ne voie pas pourquoi on pourra en reparler). Du coup au final il faut retenir que
arg(z^n)=n arg(z) !

[messinmaisoui]

Je comprend toutes les puissances paires de i font que i=-1 donc i^2 et i^8 sont égales et valent -1 c'est sa?

ensuite je concluerais en faisant le module de i^8 = 1
et arg(8i)=1?

Désolé ce que j'ai avancé, c'était n'importe quoi :marteau:

[mito94]

Non, il faut voir l'argument comme l'angle entre le vecteur OI (de ton repère OIJ classique) et le vecteur OM (où M est la point d'affixe z, c'est à dire représenté par z). Donc il "suffit" de placer ton point (ici -1) et de te demander quel angle il fait :id: (je te renvoies : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombres_complexes#Forme_polaire pour en savoir plus).

Bien pour les formules sur les arguments (elles viennent directement des formules sur les puissances, si tu ne voie pas pourquoi on pourra en reparler). Du coup au final il faut retenir que
arg(z^n)=n arg(z) !

donc arg(z^8)=8arg(z) !

arg(-1)=pie puisque sa fait un angle de 180° sur mon dessin !

[mito94]

merci j'ai trés bien compris grace a toi comment il fallait procéder .
je fais le module pas de probleme .
aprés je calcule l'argument (module 2 pie ) et je le divise par la puissance !
ici arg(z^6)=arg(-1)=6arg(z)

arg(-1)=pie donc arg(z)=pie/6 module pie/4 !



maintenant j'ai une autre question ( ou affirmation )
On me donne des equations a résoudre , cependant je ne trouve jamais la même solution que le prof et je crois que c'est parce que je prend une méthode différente.
j'aimerai vérifier si , malgré que je trouve pas la même chose que le prof mes résultats sont bons .

exemple : résoudre dans C l'équation suivante : z^2=-1+3i
je fais tous passer d'un coté j'ai z^2+1-3i=0 je calcule le discriminant delta=-4+12i
Je dis soit h^2= delta , on cherche h sous le forme h=u+iv ( u et v appartenant a R ) telle que on est le systeme suivant :
u^2-v^2=-4
u^2+v^2=rac(160)=4rac(10)

par résolution du systeme ( je vous détail pas les étapes ) je trouve u=+- rac ( -2 + 2 rac(10)) et v=+- rac(2+2rac(10).
De plus Im(h^2)=12>0 donc u et v sont de même signe .
ainsi les racines carrées de delta sont : -rac(u)-i rac (v) et +rac(u)+irac(v)

D'aprés cela on peux trouver les racines de l'équations qui sont -b-rac(delta)/2a et -b+rac(delta)/2a
donc j'obtient comme solutions de l'équation z1= -rac(-2+2rac(10))-irac(2+2rac(10))/2 et z2= rac(-2+2rac(10))+irac(2+2rac(10)) / 2

Le prof trouve des solutions différentes il procede par identification etc mais je trouve cela plus compliqué puisqu'aprés il se retrouve avec une équation de degrés 4 donc il dois Poser un X=x^2 etc etc...


clairement j'aimerai savoir si ma méthode est bonne et si elle est accepter ( assez rigoureuse , résultats corrects etc..)
Je résoud toutes mes équations dans C de cette maniere la , des fois je me retrouve avec des rac[(36)^2+(20)^2] etc mais bon...


merci de m'éclairer

[Sylviel]

A part nous avoir mis des 6 en lieu et place des 8, je ne vois pas de soucis :-)

Je dois être fatigué car je ne vois pas d'où tu sors le :
u^2-v^2=-4

[Anonyme]

maintenant j'ai une autre exemple : résoudre dans C l'équation suivante : z^2=-1+3i
je fais tous passer d'un coté j'ai z^2+1-3i=0 je calcule le discriminant delta=-4+12i
Je dis soit h^2= delta , on cherche h sous le forme h=u+iv ( u et v appartenant a R ) telle que on est le système suivant :
u^2-v^2=-4
u^2+v^2=rac(160)=4rac(10)

Bonjour

attention ce nouvel exemple d'équation n'est pas du type avec a, b et c
Pour résoudre ce genre d'équation avec a,b et c qui ne sont pas tous dans :
je ne connais qu'1 seule technique : mettre sous la forme canonique est résoudre une équation du type avec et

Par exemple : pour résoudre , cela revient à écrire que
ou
et comme
les 2 solutions de cette équation sont :
(en donnant une approximation de la mesure principale de si cette valeur n'est pas un nombre rationnel su genre \pi{)

la 2ième technique : (technique quand on ne connait pas l'argument principal exact de ET quand a,b et c sont dans )
est celle que tu expliques : calculer le discriminant de cette équation du 2ième degré
1) en écrivant que tu recherches un nombre complexe tel que
2) en ajoutant à ce système de 2 équations à 2 inconnues "obtenu par identification" ,
une 3ième équation qui décrit que
c'est à dire

Et il faut résoudre :





Cette "astuce" permet en effet d'aider à la résolution de ce système d'équation en et en qui sont dans

Dans cet exemple : ce n'est pas le cas

Le prof trouve des solutions différentes il procede par identification etc mais je trouve cela plus compliqué puisqu'aprés il se retrouve avec une équation de degrés 4 donc il dois Poser un X=x^2 etc etc...

Je suis intéressé que tu détailles la méthode de ton prof pour résoudre l'équation

[busard_des_roseaux]

bonjour


on égalise les modules et les arguments modulo




soit



on fait varier k de 0,1,2.... jusqu'à retrouver une même affixe sur le cercle trigonométrique
soit

d'où pour
les solutions sont situées sur un octogone régulier ayant subi une rotation de

[mito94]

Merci alors il faut bien que a b c soit dans R pour que je puisse faire cette méthode. Alors comment résoudre mon équation ?;(

Parce que j'ai résolution une équation z^2 -3z + 3+i =0 avec cette méthode et j'ai trouver la bonne solutions pourtant c n'est pas dans R ! Nn ?

[messinmaisoui]

...

Je suis intéressé que tu détailles la méthode de ton prof pour résoudre l'équation

Voilà la méthode de mon "prof" : Bouquin Math PCSI (edition Bréal)
sauf erreur de calcul de ma part ...

z² +(1-3i) = 0
delta = (-4)(1-3i) = -4+12i

je cherche £, ß tels que (£ +iß)² = -4+12i

£² - ß² = -4
2£ß = 12
et |(£ +iß)²| = |-4+12i|


£² - ß² = -4 (exp1)
2£ß = 12 (exp2)
et £² +ß² = racine(16+144) = 4 * racine(10) (exp3)
[EDIT] des erreurs de calcul à partir de là ...
On trouve facilement £ et ß (exp1) + (exp3)
£ = 2 * racine(racine(10) - 1)
ß = 3 / racine(racine(10) - 1) (exp2)

donc les racines de delta sont
2 * racine(racine(10) - 1) + (3 / racine(racine(10) - 1)) * i
et
- 2 * racine(racine(10) - 1) - (3 / racine(racine(10) - 1)) * i

et les solutions au final :
-[ 2 racine(racine(10) - 1) + (3 / racine(racine(10) - 1)) * i] / 2
et
[ 2 racine(racine(10) - 1) + (3 / racine(racine(10) - 1)) * i] / 2

[mito94]

c'est la "même" méthode que la mienne en rédiger un peu differament , et pourquoi on ne trouve pas les memes resultats c'est bizarre...
on peu donc utiliser cette méthode car delta est dans C !