Nombres complexes - structures algébriques - Algèbre linéair

[capitaine nuggets]

Bonsoir, je rencontre quelque difficultés pour faire l'exercice suivant :

On considère un pentagone régulier : pour fixer les idées, l’ensemble des
points du plan complexe dont des sommets ont pour affixes les racines cinquièmes de
l’unité, soit :

.

Le but de l’exercice est d’étudier le groupe (pour la composition des applications) des
isométries du plan complexe qui laissent invariant ce pentagone. On notera la rotation
de centre l’origine et d’angle , et la symétrie qui à un nombre complexe associe son conjugué.

.

1°) Vérifier que et laissent invariant l'ensemble .

Soit un élément de .

.
On remarque bien que pour variant dans , varie dans et donc on a bien .

Mais bon, je ne sais pas si ce serait crédible dans une copie par exemple...
Aurait-il fallu que je calcule pour ?
Comment aurais-t-on fait si on n'avait pas mais par exemple ?

De même, .
Là aussi, on a bien .

2°) Vérifier que les puissances successives de sont des rotations dont on donnera
l’angle, et déterminer l’ordre de .

;
est donc une rotation de centre l'origine et d'angle ;

;
est donc une rotation de centre l'origine et d'angle ;

;
est donc une rotation de centre l'origine et d'angle ;

;
Par contre, je ne vois pas comment qualifier : rotation de centre l'origine et d'angle ?

L'ordre de est donc .

3°) Pour , montrer que et sont des symétries par rapport à un axe passant par l'origine, dont on donnera l’angle par rapport à l’axe réel.

Par contre, je n'arrive pas à donner les caractéristiques demandées :triste:
Je n'arrive pas de plus à calculer : .

Merci de m'éclairer.

[egan]

Je pense que ta réponse à la première question est suffisante. Au pire, si tu veux vraiment être sûr qu'on te reproche rien, tu écris que dans P, c'est la même chose de faire varier k dans {0,1,2,3,4} et dans Z.

[egan]

Pour la question 2, la caractérisation de z->z que tu donnes est bonne.

[egan]

Pour la question 3, je pense que le mieux c'est de faire un dessin. J'ai toujours trouvé ça un peu prise de tête donc je ne suis peut-être pas le mieux placé pour répondre.

Si tu prends l'application .

On te demande de montrer que c'est une symétrie par rapport à un axe qui passe par l'origine.
Tu peux regarder ce que cette application fait sur un complexe en partciulier pour avoir une idée sur l'axe que tu cherches à mettre en évidence.
Si tu prends . L'application transforme z en 1.
Bon ba ya des chances que l'axe que tu cherches soit dirigé par le complexe .

Mais bon après, faut le montrer, je te laisse faire. ^^

En espérant que je ne dise pas de bêtise.

[capitaine nuggets]

Pour la question 2, la caractérisation de z->z que tu donnes est bonne.

Ok, c'est juste que je trouve ça bizarre de dire, qu'on a une rotation d'angle 0 et de centre l'origine.

Je suis assez convaincu par ton idée egan : la droite semble être dirigée par .

Je regarde comment prouver ça.

[egan]

Tu peux voir une rotation d'angle 0 comme une rotation d'angle 2Pi si ça t'aide.

[capitaine nuggets]

Désolé, mais je n'arrive à rien :triste:

Auriez-vous une piste ?

[egan]

Je ne sais pas si ça peut marcher mais regardons ce que peut faire sur un complexe z la symétrie d'axe dirigé par .

Tu peux écrire avec . Il ne doit pas être trop faux de dire que l'image de z par notre symétrie est:



Bon ba ça marche. ^^

[capitaine nuggets]

Mon problème viens surement du fait que je ne connais pas la formule complexe d'une symétrie dirigée par un axe.

[egan]

Moi non plus !

Regarde juste ce que fait une symétrie sur un complexe:

- le module est gardé
- elle reporte l'angle entre le complexe et l'axe de l'autre côté de l'axe.

Fais un petit dessin ça t'aidera.

[capitaine nuggets]

Salut !

Oui, du coup, je pense avoir compris ce que tu m'as dit :

donc suivant , est une symétrie axiale passant dirigé par .

Quand j'y pense, il y a quelque chose de trivial : , dois-je le démontrer ?

Montrer que pour devrais suffire ...

[capitaine nuggets]

Pour la question 3°) sinon, j'obtiens :





Ai-je bon ?

Les symétries de sont les mêmes que celles de mais avec l'angle opposé correspondant.

J'en viens donc à la question 4°) (assez dure selon moi puisque je ne vois pas comment démarrer) :

4°) Quel est l'ordre d'une symétrie ?

[egan]

Salut !

Oui, du coup, je pense avoir compris ce que tu m'as dit :

donc suivant , est une symétrie axiale passant dirigé par .

Quand j'y pense, il y a quelque chose de trivial : , dois-je le démontrer ?

Montrer que pour devrais suffire ...

est une symétrie donc automatiquement tu as . Ca suffit à montrer ton résultat en élevant au carré cette égalité.
Ce truc là répond d'ailleurs à la question 4. A ton avis quel est l'ordre d'une symétrie ?

[egan]

Pour la question 3°) sinon, j'obtiens :





Ai-je bon ?

Les symétries de sont les mêmes que celles de mais avec l'angle opposé correspondant.

Ca a l'air d'être ça.

Si on considère et , alors l'application envoie z sur:



Donc l'axe serait plutôt dirigé par:



Ca a l'air de bien se passer. Si tu as refait tous les calculs, je suis d'accord.

[capitaine nuggets]

A ton avis quel est l'ordre d'une symétrie ?

Selon moi, ca dépend de la nature de la symétrie, non ?

Si c'est une symétrie axiale, alors elle est d'ordre 2 ;
si c'est une rotation d'angle , alors son ordre est le plus petit tel que .
J'ai pris en exemple la rotation de centre l'origine et d'angle .
L'ordre de cette rotation est 4 !

Ai-je bon ?

[egan]

Une symétrie vérifie toujours . C'est même une caractérisation.

Attention, une rotation n'est pas une symétrie.

Et toutes les symétries sauf l'identité sont d'ordre 1.

[capitaine nuggets]

Une symétrie vérifie toujours . C'est même une caractérisation.

Attention, une rotation n'est pas une symétrie.

Et toutes les symétries sauf l'identité sont d'ordre 1.

Ah ben oui !
Symétrie axiale et centrale !
(Il n'y a pas d'autres symétries ?)
Il faut les composer au moins une fois avec elle-même pour se retrouver à notre point de départ !

Comment prouver que toute symétrie vérifie ?

[egan]

C'est très simple.

Tu te places dans un espace vectoriel E et tu supposes que E = F + G où le + ici désigne une somme directe.
On appelle s la symétrie par rapport à F parralèlement à G. Alors tu sais que si x est un élément de E, on peut l'écrire x = f + g, avec f dans F et g dans G.
Alors tu as:

s(x) = f - g

Et automatiquement, tu retrouves:

s(s(x)) = f + g = x

[egan]

Je rectifie un peu ce que j'ai dit tout à l'heure. Une rotation peut être une symétrie si elle est d'angle 0 ou pi.

Mais comme je le disais tout à l'heure. C'est le résultat suivant qui est vraiment important:

Une application linéaire est une symétrie si et seulement si son carré est égal à l'identité.

[capitaine nuggets]

Je rectifie un peu ce que j'ai dit tout à l'heure. Une rotation peut être une symétrie si elle est d'angle 0 ou pi.

Mais comme je le disais tout à l'heure. C'est le résultat suivant qui est vraiment important:

Une application linéaire est une symétrie si et seulement si son carré est égal à l'identité.

ok merci beaucoup pour ces précisions :we:

Juste quelques questions :
Pourquoi se placer sur et non pas ?