Montrer qu'une série est bornée.

par **sarmate** » 20 Juin 2007, 12:10

Bonjour, l'auteur d'un livre dans lequel je travaille actuellement annonce que la série de terme générale :

est bornée.

Et j'ai du mal à le démontrer.

Quelqu'un aurait-il l'amabilité de m'aider.

En vous remerciant d'avance.

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 12:14

bonjour

tu parles bien de Sn la suite des sommes partielles bornée?

alpha positif ou non ?

par **sarmate** » 20 Juin 2007, 12:27

Je suis allé un peu vite oui...

Je parle donc bien de

et alpha et positif aussi...sinon la suite n'est pas bornée...

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 12:49

la série converge donc est bornée

voila une méthode la plus rapide ? je ne pense pas
A)
prenons

plutôt sin(racine(n)/n^b = f( n) ou cos à la place du sin
avec 1> b >1/2

1) comparaison série intégrale

F une primitive de f on écrit la formule de taylor pour F

F(n+1) -F(n) = f(n) + f ' (c(n)) /2

on somme

la série des f ' (c(n)) converge absolument car la puissance de t dans f ' (t) est strictement supérieure à 1 au dénominateur

donc sigma des f(n) est de même nature que l 'intégrale de f qui converge

(faire une IPP ou changement de variables d'abord)

B)

reprenons

sin(racine(n) /n^a = f(n) 0
on fait la même chose

F(n+1) -F(n) = f(n) + f ' (n) /2 + f " ( c (n) ) /6

la série des f '' (c (n) ) converge absolument

la série des f ' ( n) converge d 'après A

et l 'intégrale converge changement de variables + ipp

donc la série des f(n) converge

par **sarmate** » 20 Juin 2007, 15:06

Tout d'abord je te remercie de ton aide, et je vais regarder plus en détail ta démonstration, mais en fait, le livre dans lequel je travaille démontre que cette série converge ssi alpha>1/2.

Mais je viens de comprendre ce que fait l'auteur... Il fait comme toi pour le cas alpha>1/2.

Dans le cas alpha=1/2 on démontre à la main qu'il y a divergence.

Et pour alpha<1/2 il démontre la non convergence par l'absurde... donc forcément en supposant que la série converge, la suite Sn est bornée... Je n'étais pas très réveillé ce matin...

Si tu veux voir pourquoi la série diverge pour

je peux te l'écrire ici...

Encore merci du temps que tu as pris.

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 15:41

je regarde ça de plus près

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 16:04

voila mon erreur

dans le B)

a <1/2

les deux séries f ' (n) et f " (cn) convergent bien

donc la série des f (n) et l 'intégrale de f sont de même nature
et j'ai faussement conclu à la cv de l'intégrale sans regarder

avec le changement de variable u = racine (t)

on a l 'intégrale de

u^(1-2a)sin (u)

1-2a >0 et on montre facilement que l'intégrale diverge car par IPP

on va avoir une intégrale qui cv (pas absolument) et le crochet d'intégration lui n'a pas de limite
u^(1-2a) cos u

cependant le crochet n'est pas borné pour a < 1/2 ; (pour a= 1/2 oui )donc pas plus Sn ...

par **fahr451** » 20 Juin 2007, 16:20

je déraille

dans f ' on a un sin (piracine (t))/t^2a et la série ne converge pas toujours
mais pour a>1/4 oui

par **manelle** » 20 Juin 2007, 22:08

Bonsoir , j'arrive toujours un peu tard mais je signale un théorème bien pratique dans ce cas même s'il n'est pas enseigné :
soit f de classe C1 sur [1,infini[ à valeurs complexes tq f' intégrable sur [1,infini[,
alors la série de tg f(n) et la suite des intégrales sur [1,n] de f sont de même nature .
Ici cela résout tous les cas pour f(x)=exp(i pi x^1/2)/x^a
(faire x=t² pour se ramener à l'intégrale de exp(i pi t)/t^(2a-1) connue dans le cours)

Montrer qu'une série est bornée.

Montrer qu'une série est bornée.

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