Prouver qu'une fonction a deux variables est bornée

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rdt
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prouver qu'une fonction a deux variables est bornée

par rdt » 24 Oct 2018, 02:18

Bonsoir à tous,

Je suis débutant en maths : programme scientifique du lycée, plus quatre chapitres d'un livre d'introduction à l'analyse (1. nombres réels et complexes, 2. suites numériques, 3. topologie élémentaire, 4. continuité).
6 exercices, sur 26, du chapitre continuité me résistent, dont le suivant qui m'a actuellement couté plus d'une trentaine de pages de calcul…
Il s'agit entre autres de montrer que la fonction f(x, y)= xyy/(xx +yyyy) avec f(0, 0)= 0 est bornée.
J'ai voulu le montrer par contradiction, par comparaison ou encore par simple transformation de son expression, mais rien n'y fait ! Je rate systématiquement la propriété…
Quelqu'un aurait-il la bienveillance de pouvoir m'indiquer au moins une piste accessible avec mon niveau ?

Je l'en remercie déjà du fond du cerveau,

Que la force soit avec vous,

Vive les Maths!



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Lostounet
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Re: prouver qu'une fonction a deux variables est bornée

par Lostounet » 24 Oct 2018, 02:56

Bonsoir,
Pourquoi ne pas chercher les points critiques de f ?
C'est à dire fixer x et dériver par rapport à y et regarder.
Puis fixer y et dériver par rapport à x.

Ceux-ci donnent une idée de comment f varie, par exemple sur l'ensemble des (x;y) tel que y^4= x^2 (après calcul)

Cela permet de maximiser et minimiser f.

Par contre là où je pense qu'on doit s'attarder: voir pourquoi les dérivées partielles existent (en 0;0 il me semble qu'il y a une vérification ... à suivre). Donc peut-être étudier la continuité de f au voisinage de l'origine où elle est bornée permettrait de conclure.

On trouve -1/2<= f<= 1/2
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Ben314
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Re: prouver qu'une fonction a deux variables est bornée

par Ben314 » 24 Oct 2018, 05:05

Salut,
Perso. j'aurais tendance à considérer que c'est "une majoration élémentaire".
LE truc à absolument toujours avoir en tête concernant les fonctions de plusieurs variables, c'est que les 3 normes classiques majorent les coordonnées c'est à dire les majorations (triviales) : .
Et ici, avec ton la "vague mini astuce", c'est de voir que c'est donc ça majore ainsi que ce qui prouve que .
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

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rdt
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Re: prouver qu'une fonction a deux variables est bornée

par rdt » 24 Oct 2018, 19:24

Par Pythagore Ben314, c’est élementaire nous sommes bien d’accord !
Merci encore ;
Merci aussi à Lostounet, je ne suis cependant pas censé utiliser de dérivation pour cet exercice.

Santé à vous!

 

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