Série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier

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BILLA
Messages: 1
Enregistré le: 04 Jan 2013, 20:30

Série trigonométrique qui n'est pas une série de Fourier

par BILLA » 04 Jan 2013, 20:48

salut tout le monde
pouvez vous m'aider à prouver que cette série trigonométrique n'est pas une série de fourier
elle est donnée comme suit :

la somme des (sin(nx)/n^a) tel que 0
Merci d'avance



adrien69
Membre Irrationnel
Messages: 1899
Enregistré le: 20 Déc 2012, 14:14

par adrien69 » 04 Jan 2013, 21:09

BILLA a écrit:salut tout le monde
pouvez vous m'aider à prouver que cette série trigonométrique n'est pas une série de fourier
elle est donnée comme suit :

la somme des (sin(nx)/n^a) tel que 0<a<=1/2

Merci d'avance


Le truc classique c'est de montrer que les coefficient de fourier (ici les bn) ne correspondent pas à ce que tu as dans ta somme. Encore faut-il pouvoir les calculer par contre. Et là... Je ne sais même pas si ta cochonnerie converge simplement. Enfin, je m'en doute, je pense qu'il faut appliquer une transformation d'Abel pour augmenter la puissance au dénominateur, mais après pour le calcul...

edit : ah mais si ! Y a le théorème d'interversion série intégrale qui marche bien là.
la série CVS
La série de l'intégrale des modules converge
Alors la somme de la série est intégrable et on a l'intégrale de la somme qui vaut la somme des intégrales

Le_chat
Membre Rationnel
Messages: 938
Enregistré le: 10 Juin 2009, 14:59

par Le_chat » 04 Jan 2013, 21:39

Une transformation d'abel marche bien, vu que la suite des (1/n^a) décroit vers 0, et que la suite des sommes partielles de sin(nx) est bornée (à x fixé bien entendu).

Par contre, je vois pas comment la somme de l’intégrale des modules peut converger, ça fait la série de terme général 4/n^a, sauf erreur.

Par contre avec Bessel ça marche, on obtient que pour tout n, la somme des 1/n^2a est plus petite qu'une constante.

 

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