Série harmonique : montrer qu'une suite n'est pas majorée.

[MathEtDessin]

Bonjour,

Je bloque à une question (enfin je pense être sur la bonne piste, mais je sais pas comment justifier mon raisonnement)

J'ai donc :



J'ai déjà montré qu'elle est croissante, et que pour tout n non nul, j'ai :


Mais je dois maintenant montrer que la suite n'est pas majorée, j'ai donc pensé à ça :

Du coup, j'ai pensé que c'était la forme qu'il fallait pour le montrer (Ou alors je me trompe, et dans ce cas dites le moi) mais je n'arrive pas à trouver la justification... Je bloque.

Voilà j'espère que quelqu'un pourra m'aider !

[samoufar]

Bonjour,

Pourquoi ne pas regarder ?

[Razes]

Soit : , on a :

Tu procède à une intégration.

[MathEtDessin]

Je ne vois pas à quoi ça m'aide, vu qu'au final ça me fait (1/2n), ça ne m'avance en rien, si ?

Et Razes, je ne vois pas du tout en quoi ça me montre que la suite est non majorée, vu que quelque soit l'intégrale sur ton inégalité, on n'obtient pas de sommes ni mes suites, mais des ln().

[Razes]

Je ne vois pas à quoi ça m'aide, vu qu'au final ça me fait (1/2n), ça ne m'avance en rien, si ?

Et Razes, je ne vois pas du tout en quoi ça me montre que la suite est non majorée, vu que quelque soit l'intégrale sur ton inégalité, on n'obtient pas de sommes ni mes suites, mais des ln().

Tu as essayé au moins?

[Razes]

Calcule la somme pour à

[MathEtDessin]

Oui mais je viens de voir où tu voulais en venir ! A gauche j'ai ln(k+1/k) et à droit une expression qui se re-simplifie en 1/k (vu qu'on intègre de k à k+1), ensuite on somme, puis à gauche on transforme ça en produit, et on a n+1 < Un.

En tout cas merci pour l'astuce, elle me sera surement utile pour d'autre démo.

Mais je problème, c'est qu'il est indiqué dans l'énoncé " En déduire", et c'est pour ça que j'ai préciser que j'ai montré la monotonie de la suite (qu'elle est croissante ici) et que . Désolé j'aurais du le dire plus tôt je suis d'accord.

Ta solution fonctionne à merveille, mais dans mon cas je n'ai pas le droit de l'utiliser (mon prof est sévère, il faut que je fasse comme c'est demandé dans l'exercice...)

[chan79]

Bonjour,

Je bloque à une question (enfin je pense être sur la bonne piste, mais je sais pas comment justifier mon raisonnement)

J'ai donc :



J'ai déjà montré qu'elle est croissante, et que pour tout n non nul, j'ai :


Mais je dois maintenant montrer que la suite n'est pas majorée,

salut
si Un était majorée, elle serait convergente vers un nombre m, de même que la suite extraite U2nqui convergerait aussi vers m.
U2n-Un convergerait vers m-m=0

[MathEtDessin]

Ah et du coup on a montré que pour tout n, c'était supérieur à un 1/2, donc ça converge pas !
Mais maintenant se pose le soucis de la rédaction, il est rigoureux d'écrire comme tu as écris :
"U2n-Un convergerait vers m-m=0" ?

[Razes]

Je complète pour ceux que ça intéresserait:






Donc:
, donc notre somme diverge

[samoufar]

Bonjour,

Pour compléter mon premier post :
pour tout , donc on a une sous-suite qui diverge vers ...

Sinon ça marche aussi très bien avec une comparaison série-intégrale

[Razes]

Bonjour,

Pour compléter mon premier post :
pour tout , donc on a une sous-suite qui diverge vers ...

Sinon ça marche aussi très bien avec une comparaison série-intégrale

Une sous-suite qui diverge, c'est parfait et c'est plus court. On y pense peu.

[chan79]

Ah et du coup on a montré que pour tout n, c'était supérieur à un 1/2, donc ça converge pas !
Mais maintenant se pose le soucis de la rédaction, il est rigoureux d'écrire comme tu as écris :
"U2n-Un convergerait vers m-m=0" ?

oui, car si une suite converge vers un nombre m, toute suite extraite converge aussi vers m.

[Razes]

Ah et du coup on a montré que pour tout n, c'était supérieur à un 1/2, donc ça converge pas !
Mais maintenant se pose le soucis de la rédaction, il est rigoureux d'écrire comme tu as écris :
"U2n-Un convergerait vers m-m=0" ?

oui, car si une suite converge vers un nombre m, toute suite extraite converge aussi vers m.

Oui, bien sur, mais on n'a pas le réflexe d'y penser (si le cas permet de l'appliquer) et on s'efforce pour trouver une réponse par des moyens fastidieux.

[zygomatique]

salut

chan79 montre un raisonnement qui aboutit à une contradiction ...

pour revenir sur l'idée de samoufar par un raisonnement direct



et si on ajoute toutes ces égalités ?

[MathEtDessin]

salut

chan79 montre un raisonnement qui aboutit à une contradiction ...

pour revenir sur l'idée de samoufar par un raisonnement direct



et si on ajoute toutes ces égalités ?

Ou est la contradiction ?
J'aimerais bien savoir ! Parce que si on ajoute comme tu as dis toute ces égalités, ça marche !

[zygomatique]

ben montre ... (ce que tu obtiens en sommant ces inégalités)

[MathEtDessin]

On a donc :



Du coup, je vois pas en quoi c'est faut ? Je me trompe peut-être ?

[Razes]

On a donc :



Du coup, je vois pas en quoi c'est faut ? Je me trompe peut-être ?

C'est faux, il y a combien de terme (ou de ligne)?

[MathEtDessin]

Là c'est mieux ? Mais sinon, peux tu m'expliquer pourquoi du coup le raisonnement est contradictoire ? Parce que même sinon je dois refaire toute la question, et je n'ai aucunes idées de comment faire...