Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

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thoralf8weblen
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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 09 Jan 2021, 20:07

Oui je comprends. J'aurai donc dû écrire "si divise...".

J'ai bien noté ton indication mais quand je remplace, je suis toujours embêté par le même point: traiter les puissances de puissances.



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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par GaBuZoMeu » 09 Jan 2021, 20:16

1°) Quelles sont les racines cubiques de l'unité dans ?

Je pose comme d'habitude .

2°) Est-ce que est une racine cubique de l'unité ? A-t-on ?

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mathelot
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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 09 Jan 2021, 20:29

un peu de cours...
on a
pour calculer , on effectue la division euclidienne de l'exposant n par 3



d'où

r pouvant prendre les valeurs 0;1;2

pour conclure:
pour calculer , on peut remplacer n par son résidu modulo 3. Une autre façon de le dire,
pour calculer les puissances de et de, on peut calculer l'exposant modulo 3

Polynômes
Si X est une indéterminée, on a

thoralf8weblen
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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 10 Jan 2021, 19:40

Les racines cubiques de l'unité sont de la forme exp((i2)/2).

Oui j^2^k est racine cubique de l'unité.

Je le démontre comme cela: j^2^k = exp(i2/3)^2^k
= exp(i4/3)
= exp(ik)^(4/3)
= 1^(4/3)
= 1

Mathelot, j'ai plusieurs questions:

1) Pourquoi r devrait valoir soit 0, soit 1 soit 2 ?

2) Je comprends bien ton rappel de cours mais quel est le lien avec mon problème de départ ? Je peine à le voir...

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 19:52

thoralf8weblen a écrit:1) Pourquoi r devrait valoir soit 0, soit 1 soit 2 ?

r est le reste de la division de n par 3. Il vaut donc 0;1 ou 2

thoralf8weblen a écrit:Oui j^2^k est racine cubique de l'unité.


preuve:



en effet , avec le calcul des puissances avec x complexe a,b entiers relatifs
Modifié en dernier par mathelot le 10 Jan 2021, 20:14, modifié 1 fois.

thoralf8weblen
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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 10 Jan 2021, 19:57

Je te remercie. Mais par contre, je peine toujours à avancer sur mon problème de départ.
Il faut que je montre que est racine de X^k^n + X^k + 1.
Je reste bloqué sur ce point.

Si je parviens à faire cela, je pourrai démontrer que divise X^k^n + X^k + 1. Mais je ne vois toujours pas pourquoi Pn diviserait Pm...

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 20:02

On va étudier les puissances de j,c-a-d,

On a vu que l'on pouvait calculer en réduisant l'exposant n modulo 3.
(est ce que tu connais les congruences ?)

complète le tableau

on calcule modulo 3

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 10 Jan 2021, 20:20

Oui je connais les congruences.

J'ai donc posé modulo 3 c-à-d:
avec q > r

Donc modulo 3 donne dans le tableau suivant:



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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 20:26

thoralf8weblen a écrit:Oui je connais les congruences.

J'ai donc posé modulo 3 c-à-d:
avec 3 > r >=0

Donc modulo 3 donne dans le tableau suivant:





c'est très bien !! bravo

si k est pair,




d'où, qu'est ce que cela donne pour k impair ?

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 10 Jan 2021, 20:33

Je vois bien que le reste est de 2 ! Mais je t'avoue ne pas voir où cela va m'amener...

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 20:38

mathelot a écrit:
si k est pair,




d'où, qu'est ce que cela donne pour k impair ?




si k est impair,

car

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 20:49

On appelle le polynôme


si k est pair, que vaut ? (réponse demandée avec des j)

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 10 Jan 2021, 20:55

Je vois le lien maintenant.

Si k est pair, on a
Si k est impair, on a

Reste à montrer que dans les deux cas, la somme est nulle, non ?

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 20:57

thoralf8weblen a écrit:Je vois le lien maintenant.

Si k est pair, on a
Si k est impair, on a

Reste à montrer que dans les deux cas, la somme est nulle, non ?


oui, si tu veux

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 21:04

thoralf8weblen a écrit:Je vois le lien maintenant.

Si k est pair, on a
Si k est impair, on a

Reste à montrer que dans les deux cas, la somme est nulle, non ?


avec la notation j

les trois termes sont en progression géométrique de raison j et de premier terme 1; d'où:
car

sinon avec j=-1/2+i rac(3)/2 tu peux faire le calcul.

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par thoralf8weblen » 10 Jan 2021, 21:10

Ca marche !

Mais quel est le rapport avec l'énoncé de départ ? Je me suis un peu perdu en cours de route. En gros, on avait jusqu'ici n = 1 et m = k+1. Il suffirait d'avoir le même raisonnement en changeant les valeurs de n et m pour montrer que Pn divise Pm ?

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 21:16

Je conclus la 1ère étape:


en résumé, quelque soit k entier naturel, j est racine de
Comme le polynôme est à coefficients réels, et que est le conjugué de j

alors si j est racine de , son conjugué est également racine de
d'où
comme et sont premiers entre eux,
divise
Modifié en dernier par mathelot le 11 Jan 2021, 20:34, modifié 2 fois.

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 21:21

Pour conclure la question, il faut retrouver l'idée initiale de GBZM.. je réfléchis :ghee:

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par GaBuZoMeu » 10 Jan 2021, 21:31

Ne serait-ce pas à thoralf8weblen de réfléchir ?

Rappel : (ne pas confondre avec ).
Aussi : .

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Re: Montrer qu'un polynôme B divise un polynôme A

par mathelot » 10 Jan 2021, 21:51

remarque:
est de la forme avec
on a une progression géométrique:
d'où


avec cette formule, on obtient que j et j^2 sont racines de

une formule
on a:
pour

 

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