Monte Carlo et Equation de la chaleur

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Cleapotre
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Monte Carlo et Equation de la chaleur

par Cleapotre » 21 Fév 2013, 21:39

Bonjour

Actuellement en maths spé, je dois préparer un sujet sur "la méthode de Monte-Carlo et son application à l'équation de la chaleur". L'un de vous pourrait-il me vulgariser ces deux principes et comment lier les deux ? Merci d'avance. Réponse sur ce forum ou par MP.



DamX
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par DamX » 22 Fév 2013, 02:25

Cleapotre a écrit:Bonjour

Actuellement en maths spé, je dois préparer un sujet sur "la méthode de Monte-Carlo et son application à l'équation de la chaleur". L'un de vous pourrait-il me vulgariser ces deux principes et comment lier les deux ? Merci d'avance. Réponse sur ce forum ou par MP.

Bonsoir,

Très schématiquement et sans rentrer dans les détails et contraintes techniques, la méthode de monte Carlo te permet d'estimer des espérances. Si X est une variable aléatoire (possiblement n-dimensionnelle) suivant une certaine loi connue que tu es capable de simuler, et que tu veux calculer E(f(X)), avec f une fonctionnelle, alors si tu simules des réalisations Xi de ta variable et que tu calcules la moyenne empirique des f(Xi), cette moyenne estime l'espérance et tend vers elle lorsque le nombre de réalisations tend vers l'infini. C'est dans un certain sens très intuitif, et bien c'est juste ça Monte Carlo, calculer des espérances avec la moyenne empirique.

Après bien sur tu as énormément de raffinement techniques te permettant de contrôler la vitesse de convergence, de l'améliorer par différentes techniques de "réduction de variance" (variables à discrepance faible, etc), mais le but final c'est toujours de calculer des espérances (et de maitriser l'erreur si possible).

En ce qui concerne l'equation de la chaleur, c'est une équation aux dérivées partielles qui peut se résoudre par des méthodes numériques classiques EDP (calcul par arbre, schémas numériques,..). Mais il existe un théorème d'analyse, le théorème de Feynman-Kac, qui te permet d'exprimer la solution de l'equation de la chaleur sous forme d'un calcul d'une certaine espérance (voir [url]http://en.m.wikipedia.org/wiki/Feynman–Kac_formula)[/url]. Ainsi tu peux ensuite utiliser les méthodes de monte carlo pour calculer la solution de ton équation de la chaleur.

Je suis resté volontairement très simpliste pour exposer le principe, je ne sais pas si c'est cela que tu voulais.

Damien

 

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