Intégration par Monte-Carlo sur un volume quelconque

[metamasterplay]

Bonjours,

Je cherche à calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur une surface quelconque, et donc pas forcément un hypercube. Or la méthode de Monte-Carlo parle uniquement d'intégration sur des hypercubes:
Soit à calculer:

Où: un hypercube, ce qui implique entre-autres que les bornes d'intégration sont indépendantes entre eux.

Alors on a:


Je voudrais savoir s'il existe une variante qui prend en considération l'intégration sur un volume quelconque, sachant que j'ai les moyens de calculer la mesure dudit volume.

En pratique je veux calculer numériquement l'intégrale d'une fonction donnée sur une maille en forme de polygone (triangle ou quadrangle).

Merci de m’éclairer :we: .

[Sylviel]

Monte carlo ne parle pas de l'intégration sur un produit cartésien uniquement, la méthode est simplement de voir l'intégrale comme une espérance puis de l'approximer via la loi des grands nombre. La question est donc : peux tu simuler une loi uniforme sur tes mailles ? Une méthode (pas forcément la plus efficace, mais très robuste) consiste à simuler une va uniforme sur un parraléllépipède englobant ta maille, et de rejeter la simulation si la va tirée n'appartient pas à ta maille.

[metamasterplay]

Oui, en fait ma question relève surtout du calcul de l'espérance d'une V.A définie sur un volume quelconque. Vu que mes connaissances sur les V.A se limitent à ceux à support dans , et par extension à support sous forme de produit cartésien dans , je ne sais pas si la formule de calcul de l'espérance soit aussi valide pour des V.A à support quelconque.

Mais d'après ce que tu insinue cette formule reste correcte, à savoir pour une V.A définie sur V:

Et donc pour une V.A de loi uniforme sur V:

[Sylviel]

Effectivement, c'est la définition de l'espérance...
La méthode de rejet expliquée plus haut est une méthode effective de simulation,
même si elle est souvent celle qu'on utilise quand on ne peut pas faire mieux.

[mathelot]

amha , la formule proposée est une sorte de "randomisation" des sommes de Riemann.
on doit pouvoir randomiser également d'autres formules approchées
d'intégrales (en dimension 1 , la méthode des trapèzes..)

[Sylviel]

C'est une manière bien singulière de voir la méthode de Monte-Carlo. J'ai un doute sur le fait de pouvoir randomisé d'autres méthodes avec efficacité : cela nécessiterait d'interpoler des lancers pas forcément proches ni équidistant. En revanche Monte Carlo pour de la dimension 2 c'est vraiment pas ce qui se fait de plus efficace...

[mathelot]

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[mathelot]

up.......................................

[metamasterplay]

C'est une manière bien singulière de voir la méthode de Monte-Carlo. J'ai un doute sur le fait de pouvoir randomisé d'autres méthodes avec efficacité : cela nécessiterait d'interpoler des lancers pas forcément proches ni équidistant. En revanche Monte Carlo pour de la dimension 2 c'est vraiment pas ce qui se fait de plus efficace...

Au contraire à ce que je sais, la méthode de Monte Carlo est la seule valable pour l'intégration multidimensionnelle: Elle est surtout très flexible puisqu'elle ne présuppose rien sur la fonction à intégrer et la forme du domaine (enfin d'après ce que tu dis :lol5:).

Je me suis déjà penché sur les formules de quadratures récursives mais là encore on ne parle que d'ensembles produits. Or c'est justement ça ce qui me dérange: Les domaines à lesquelles je m'intéresse sont soit des domaines physiques (surface de lac, cours d'eau), soit un maillage de ces domaines (triangles, quadrangles et même des tétraèdres).

Si vous connaissez d'autres méthodes d'intégration qui restent valides sous ces conditions, je serais plus qu'heureux de les connaitres.

[Sylviel]

Non, pour l'intégration multidimensionnelle il existe de nombreuses méthodes déterministes. La convergence nécessite effectivement quelques hypothèses (assez faible) sur la fonction. Ces hypothèses sont toujours vérifiées par des fonctions "physique".

Après ce sont de vieux souvenirs, et il faudrait contacter des gens plus proche de ce domaine (analyse numérique en fait) qui pourrait te rediriger vers la littérature apropriée.

Monte-Carlo c'est nécessaire à partir de la dimension 5 ou 6 je crois bien...

[metamasterplay]

Bonjour,

Juste pour vous dire que je suis passé à la pratique et la méthode d'intégration de Monte-Carlo donne bien des résultats correctes quelque soit la fonction et le volume définis. J'ai surtout essayé pour un domaine quelconque en 2D et un tétraèdre en 3D. J'essayerai avec un domaine quelconque en 3D dès que j'aurais trouvé une représentation informatique faisable des domaines en 3D.

Après le degré de précision est vraiment très faible puisque il croît en . Surtout qu'on doit estimer et le volume du domaine et l'espérance. Donc comme vous dites la méthode de Monte-Carlo n'est pas des plus optimales pour des problèmes "simples".

Je me pencherai sur des méthodes déterministes pour voir s'il y en a de plus rapides tout en vérifiant les conditions pré-établies.

[JackeOLanterne]

Non, pour l'intégration multidimensionnelle il existe de nombreuses méthodes déterministes. La convergence nécessite effectivement quelques hypothèses (assez faible) sur la fonction. Ces hypothèses sont toujours vérifiées par des fonctions "physique".

Après ce sont de vieux souvenirs, et il faudrait contacter des gens plus proche de ce domaine (analyse numérique en fait) qui pourrait te rediriger vers la littérature apropriée.

Monte-Carlo c'est nécessaire à partir de la dimension 5 ou 6 je crois bien...

Les lois Produit Gaussiennes sont des approximations acceptables jusqu'en dimension 3 ou 4.
A partir de la 4, les quadratures de Monte-Carlo s'appliquent. Et une littérature se découvre...:zen: