Matrices nilpotentes diagonalisables

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rifly01
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Matrices nilpotentes diagonalisables

par rifly01 » 17 Avr 2008, 16:10

Bonjour,

Je viens de faire un petit exo dont j'aimerais vérifier le résultat

Déterminer les matrices nilpotentes de qui sont diagonalisables.

Ce que j'ai fait :

* .
*


Démo :

Soit une matrice nilpotente de
qui est diagonalisable.




Finalement, les matrices nilpotentes de qui sont diagonalisables sont les matrices nulles.

Est-ce qu'il y a des erreurs ? N'hésitez pas à me corriger !!!

Merci d'avance,



alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 17 Avr 2008, 16:21

bonjour
c'est correct

d'une façon générale une matrice ayant une unique valeur propre (complexe)
est diagonalisable ssi elle est déjà diagonale

SimonB
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par SimonB » 17 Avr 2008, 16:29

Enfin, on peut quand même dire que mettre un pluriel à "matrice nulle" est un peu étrange (il n'y a qu'une matrice nulle) ! :)

rifly01
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par rifly01 » 17 Avr 2008, 18:59

C'est vrai SimonB.

Je l'ai pas fait exprès. Mais merci pour la remarque.

rifly01
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par rifly01 » 17 Avr 2008, 19:16

Re -

J'ai un autre énoncé, du même ordre, pour lequel j'éprouve quelques difficultés

Déterminer les matrices symétriques de qui sont nilpotentes.



Soit une matrice symétrique de .
Alors et est forcément diagonalisable dans R.
De plus il existe une matrice P orthogonale tel que
Et où D est une matrice diagonale.
Soit .
Or S est nilpotente, donc il existe un entier tel que

Je ne suis pas sûr de ce résultat, pourtant je ne vois d'erreur.

merci pour votre aide,

ThSQ
Membre Complexe
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par ThSQ » 17 Avr 2008, 19:23

C'est un exemple d'application du 1er exo vu que toute matrice sym réelle est diago.

rifly01
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par rifly01 » 17 Avr 2008, 20:24

Bonjour,

"diago" ça vaut dire diagonalisable ou diagonale ?

Diagonalisable je pense.

-------

Ce que j'ai fait est faux ? Ou bien il y a une part de vérité ?

SimonB
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par SimonB » 17 Avr 2008, 20:37

Ce que tu as fait est juste, mais inutilement compliqué. Si tu sais que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, il suffit d'écrire "Soit S symétrique réelle : donc S est diagonalisable, donc d'après le premier exo, si S est nilpotente elle est nulle." Ca fait plusieurs lignes de moins...

rifly01
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par rifly01 » 17 Avr 2008, 22:57

Ok,

Il y a une bonne nouvelle lol, c'est juste :)

Merci !

 

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