Matrices nilpotentes qui commutent

[abel]

Bonjour je bloque sur un pb tout bête :
-En dimension 2 si A et B sont nilpotentes et A et B commutent, il faut montrer que AB=0 ..si qqun à une idée à me donner ca serait sympa. Apres il faut que je généralise a n matrices en dimension n mais bon je voudrais déjà comprendre en dimension 2.
Merci.

[tize]

Bonsoir,
le fait que l'on est en dimension 2 avec la nilpotence implique que et .
Le fait que A et B commutent implique que le noyau (resp. l'image) de A est stable par B et vice versa.

[abcd22]

Bonsoir,
Si B = 0 c'est évident, si B est non nulle son image est une droite, et elle est stable par A. Il n'y a pas beaucoup d'applications nilpotentes en dimension 1...
Pour la généralisation une récurrence sur n doit marcher.

[abel]

Ok merci pour vos réponses je vois ce qu'on peut déduire du fait que AB=BA, (je rattaquerai demain : trop crevé)...