Matrices nilpotentes

[pihro]

bonjour,

je sèche complétement pour cette question :

[murray]

bonjour,
si M est nilpotente, alors M annule un polynome scindé donc est trigonalisable. De plus 0 est l'unique valeur propre de M.
Dans l'autre sens, si M est trigonalisable avec des zéros sur la diagonale supérieure, alors son polynôme caractéristique va être (-1)^n*x^n d'ou il est facile ensuite d'en déduire que M est nilpotente.

[pihro]

excusez-moi, mais je ne suis qu'en première année, et les notions de valeurs propres me sont encore inconnues...

de plus, l'énoncé suggérait quelques indices, mais je bloque à chaque fois :



Quelqu'un peut-il m'aider ??

[pihro]

Quelqu'un peut il m'aider ? je suis toujours bloqué !

[Zebulon]

Bonjour,
pour montrer que M est inclus dans M' :
soit N, T et P tels que N=P^{-1}TP. On cherche p tel que . et car elle est triangulaire supérieure et il n'y a que des 0 sur la diagonale. Je cherche une preuve convaincante de ce qui est en gras...

[pihro]

merci zébulon... mais personne n'a une idée plus précise de la solution au problème ?

[Zebulon]

Je suis désolée, mais je ne sais pas comment le prouver, ça paraît évident quand on essaie le produit. En effet, comporte une "diagonale" de 0 plus que .

[pihro]

merci zebulon, j'ai compris ton idée... je pense qu'il faut faire une récurrence pour pouvoir la démontrer, mais je n'y arrive pas... pas d'autres réponses ?

[pihro]

Bonsoir,

ca y est, j'ai réussi à faire la première question... par contre, je suis toujours dans le brouillard pour la deuxième question ; quelqu'un pourrait-il m'aider ?

merci d'avance

[yos]

L'inclusion provient directement du fait que u(0)=0.
Si on a l'égalité , on prend , donc , donc , donc , donc . D'où l'inclusion , l'inclusion inverse a été vue avant.

[murray]

cet exercice est quand même pénible à faire si on n'a pas vu le cours sur la diagonalisation. Je trouve qu'il devrait plutôt être donné en spé qu'en sup.

[pihro]

Bonjour, j’ai enfin trouvé une preuve pour la dernière implication…. Mais je ne me suis pas servi des résultats sur les noyaux (enfin je pense…)
Pouvez vous me dire si ma preuve est juste, et si tel est le cas, est-ce que je me servirai inconsciemment des résultats précédents ?

Voici la réponse que j’ai trouvée :


On procède par récurrence, en posant pour tout , : Il existe une base B de E dans laquelle la matrice de n lignes de u soit triangulaire supérieure et les éléments diagonaux de celle-ci sont tous non nuls.

Pour n = 1.
u est nilpotent. Donc une matrice de u dans n’importe quelle base est a, avec .
Or on sait qu’il existe tel que .
Donc = 0
Donc a = 0
Donc est vraie

Soit n tel que pour tout , soit vraie.
Dans n’importe quelle base c, 0 = det() = det(u)
Donc le déterminant de la matrice est nul dans n’importe quelle base.
Autrement dit, u est non injective
Donc il existe non nul.
Comme E est de dimension finie égale à n, le théorème de la base incomplète assure qu’il existe . On pose .
où B est une matrice ligne de n-1 colonne et A une matrice carré de n-1 lignes.
Or on sait que .
Or
Donc A, qui est la matrice d’un endomorphisme v sur le sous-espace vectoriel F = Vect(,..,), est nilpotente.
Or F est un sous-espace vectoriel de dimension n-1.
En appliquant notre hypothèse de récurrence, on peut trouver une base b dans laquelle la matrice de v soit triangulaire supérieure.
Donc la matrice dans la base de E qu’est est une matrice triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale.

[murray]

bonjour,
je ne comprends pas pourquoi A^k=0. De plus, les matrices blocs dans M ne sont pas compatibles pour le produit matriciel.