Nombre de matrices nilpotentes

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 19:02

Salut :happy3:

Un truc amusant auquel j'ai réfléchit aujourd'hui :

Pour k et n fixé, combien il y a-t-il de matrices carrées d'ordre n dont la puissance k-ème est nulle ? (aux matrices semblables près )

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 19:08

J'répond super vite (je suis super pris par x^2+x+1)
tu jordanise et c'est fini....

Bon je sais, ca doit pas être ca, mais c'est pour faire avancer le schilibililibi...

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 19:11

j'ai commencé par là effectivement (comment souvent avec les problèmes de matrice nilpotente )

par **girdav** » 01 Déc 2009, 19:13

Salut. On suppose les coefficients complexes?

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 19:15

Si tu veux, peu importe le corps commutatif choisit.

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 19:39

Nightmare a écrit:Si tu veux, peu importe le corps commutatif choisit.

Tu est sûr ? Il me semblait me rappeller que les problèmes de semblabilité (??) de matrices sur

étaient assez tordu...

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 19:52

Non pas de soucis là dessus !

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 20:24

Effectivement, j'ai encore dit une connerie, pour décomposer, comme la seule valeur propre est 0, tu te fout de savoir sur quel corps tu est....

par **Anonyme** » 01 Déc 2009, 20:24

Nightmare a écrit:Salut :happy3:

Un truc amusant auquel j'ai réfléchit aujourd'hui :

Pour k et n fixé, combien il y a-t-il de matrices carrées d'ordre n dont la puissance k-ème est nulle ? (aux matrices semblables près )

Bonsoir,

Tres interessant comme question! mais est ce que tu sais pourquoi y en a un nombre fini (modolu conjugaison)?

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 20:29

A part que c'est du GROS DENOMBREMENT POURRI, pour le moment, j'ai pas la réponse...

P.S. Nombre de façons d'écrire n=a_1+a_2+...+a_p avec 1<=a_i<=k
en considérant comme identiques les permutations ?

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 20:33

moins pourri :
nbre de k-uplet (b_1,...,b_k) t.q som(i.b_i)=n...

j'avance...

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 20:37

comment on développe

déjà ?

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 20:48

A-380 a écrit:Bonsoir,

Tres interessant comme question! mais est ce que tu sais pourquoi y en a un nombre fini (modolu conjugaison)?

Parce qu'on a un nombre fini de valeur propre je dirais.

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 20:51

Ben314 a écrit:moins pourri :
nbre de k-uplet (b_1,...,b_k) t.q som(i.b_i)=n...

j'avance...

Ca me semble correct !

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 20:52

Nightmare a écrit:Parce qu'on a un nombre fini de valeur propre je dirais.

Si je ne me trompe pas, les matrices nilpotentes donnent les matrices de trace nulle dans une certaine base. La trace étant déterminée par les valeurs propres...

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 20:56

Tu t'auto-cite ????

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 20:58

je complétais :lol3:

par **Anonyme** » 01 Déc 2009, 21:00

Nightmare a écrit:Parce qu'on a un nombre fini de valeur propre je dirais.

Ou plutot, elles sont toutes semblables à des matrices blocs qui sont de Jordan (plus ton argument).

par **Ben314** » 01 Déc 2009, 21:05

bon, je vais manger...
Là ou on voit que je suis vieux c'est que le nbre de k-uplet (b_1,...,b_k) t.q som(i.b_i)=n, c'est du classique classique, mais je retrouve pas....

par **Nightmare** » 01 Déc 2009, 21:31

C'est pas très important, ce qui est plus intriguant est de voir pourquoi ce nombre est bien le nombre de k-uplet vérifiant ta relation.

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