Espace engendré par les matrices nilpotentes

[Gary O]

Salut,
voilà tout est dans le titre, si quelqu'un a une idée pour trouver ce sous espace de Mn(C), je n'y arrive pas du tout. :mur:

[Yipee]

Je pense que cela doit être les matrices de trace nulle

[fahr451]

tous les Eij avec i différent de j y sont déjà

une cbl de nilpotentes est en effet de trace nulle

réciproquement ?

[fahr451]

sans doute il y a plus simple

pour une matrice d e trace nulle
on la coupe en trois
les partie stric sup et stric infé sont nilpotentes
reste la matrice diagonale D de trace nulle

or pour i0 différent de j 0

f défini par f (ei0) = ei0+ej0 f (ej0) = -eio -ejo f(ei) = 0 sinon est nilpotent
le 1 et le -1 hors de la diagonale peuvent être annulés avec des Ekl

on trouve donc que la matrice diagonale avec un 1 et un -1 nimporte où et des zéros sinon est ds l'espace cherché;en notant D(i) celle ou le 1 est en ieme place et le -1 en i+1

on essaye d 'écrire D= Diag(a1,...,an-1, -somme) comme cbl des D(i) ce qui sauf erreur est possible

Diag(a1,...,an) = sigma bi D(i) ssi

a1 = b1 et ai = bi -b(i-1) pour i >1 qui admet une sol en les bi

[fahr451]

rain c 'est le sev engendré par les nilpotentes (les nilpotentes ne forment pas un sev)

[yos]

Et le noyau de la trace, c'est pas un sev?

[yos]

C'est bon, je parle trop vite. Je confirme que c'est bien ce sous-espace qui est engengré par les nilpotentes.

[fahr451]

ben si yos

je pense avoir prouvé que ce sev est bien l ensemble des matrices de trace nulle ( ker tr donc)
mais ma preuve est pas super

[yos]

Une combinaison de nilpotentes est de trace nulle car chaque nilpotente est de trace nulle (par exemple en regardant les valeurs propres).

Les sont déjà au nombre de n²-n. Tu peux ajouter les (n-1) matrices également nilpotentes. D'où matrices indépendantes et nilpotentes. L'espace engendré par les nilpotentes est bien l'hyperplan ker(Tr) au complet.

[fahr451]

ben oui en fait c'est ce que j 'avais fait avec i0 = 1
mais ensuite je n'ai pas pensé à recoller les familles
en plus y a du latex alors que demander de mieux? :)

[yos]

Le fait qu'une nilpotente est de trace nulle peut-il se voir sans faire appel aux valeurs propres (ou à Cayley-Hamilton, la trace étant le coef constant du polynôme caractéristique qui est )?

[fahr451]

un endo f nilpotent n 'est certainement pas bijectif donc il existe x non nul ds le noyau (qui a parlé de vecteur propre?) on écrit la matrice ds une base complétée avec x

la sous matrice de taille n-1 est nilpotente et on conclut par récurrence que ds une bonne base la matrice de f est triangulaire sup avec 0 sur la diag

[yos]

C'est bien. Ca évite d'aller chercher des valeurs propres dans une clôture algébrique du corps de base.
Le plus rapide reste Cayley-Hamilton.

[Gary O]

Bon ben merci beaucoup tout le monde, j'avais zappé la trace...

[Yipee]

Pour la reciproque, on peut aussi utiliser qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle (un bon exo pour ceux qui ne connaissent pas)

[fahr451]

absolument
par récurrence sur n

à moins du cas évident où f est nulle f n'est pas une homothétie donc il existe x tel que (x,f(x) )libre ( un bon exo pour ceux qui...))

et dans une base formée de (x,f(x)) la matrice a un zéro en haut à gauche

et on applique l'hypothèse de récurrence à la sous matrice carrée de taille n-1