Matrice, trace, determinant et dérivée du polynôme cara

[Vaffreingue]

Bonjour !

Je suis à le recherche d'aide pour une petite démo que j'essaye de faire mais où je bloque :

"la dérivée du polynôme caractéristique, est égal à la trace de la matrice adjointe de I A"
(adj(A) = t(com(A))

une idée était de dérivé le polynome, c'est assez simple a faire mais après quand on doit calculer la trace de la matrice adjointe ça devient moche, surtout si on cherche une expression générale pour des matrices de toutes tailles :lol3:

Une autre idée, que j'avais vue sur un site était de donner la dérivée du polynome selon son expression


où ici le polynome caractéristique est :happy2:

Et ensuite le gars qui fait sa démonstration dit que c'est égal à :

Moi je veux bien le croire encore que ça me semble logique mais je ne comprend pas tout à fait pourquoi.

Mais pour conclure il dit aussi que = le coefficient de la diagonale à la place i. (c'est pas très clair, en gros le coefficient de à la ième ligne et ième colonne. :euh:

Ensuite il n'y a plus trop de problèmes mais ceci me laisse très perplexe !

Donc voilà si vous auriez une idée ou même la réponse :lol3: je suis preneur !

Merci d'avance !

[Joker62]

Bonjour,

Je ne sais pas si ça peut tenir la route, mais est-ce-qu'une récurrence ne fonctionnerait pas ?

[Vaffreingue]

Bonjour,

Je ne sais pas si ça peut tenir la route, mais est-ce-qu'une récurrence ne fonctionnerait pas ?

Peut être bien mais sur quoi ? En plus la récurrence forcerait à calculer la comatrice à un moment et c'est là que je bloque parce que dans sa méthode il ne l'utilise pas...
le lien est --> ici <-- c'est à la page 4...

[Joker62]

C'est une matrice à coeff dans C ?
Avec une trigonalisation ça marche pas ?

La récurrence porterait sur la taille de la matrice.

[Maxmau]

Bonjour !

Je suis à le recherche d'aide pour une petite démo que j'essaye de faire mais où je bloque :

"la dérivée du polynôme caractéristique, est égal à la trace de la matrice adjointe de I A"
(adj(A) = t(com(A))

une idée était de dérivé le polynome, c'est assez simple a faire mais après quand on doit calculer la trace de la matrice adjointe ça devient moche, surtout si on cherche une expression générale pour des matrices de toutes tailles :lol3:

Une autre idée, que j'avais vue sur un site était de donner la dérivée du polynome selon son expression


où ici le polynome caractéristique est :happy2:

Et ensuite le gars qui fait sa démonstration dit que c'est égal à :

Moi je veux bien le croire encore que ça me semble logique mais je ne comprend pas tout à fait pourquoi.

Mais pour conclure il dit aussi que = le coefficient de la diagonale à la place i. (c'est pas très clair, en gros le coefficient de à la ième ligne et ième colonne. :euh:

Ensuite il n'y a plus trop de problèmes mais ceci me laisse très perplexe !

Donc voilà si vous auriez une idée ou même la réponse :lol3: je suis preneur !

Merci d'avance !

Bj
je reprends ce que tu dis.
B(x) une matrice nxn dépendant de la variable x et déterminée par ses colonnes
B(x) = (B1(x)|B2(x)|……….|Bn(x))
Je note D(x) le déterminant de B(x)
On a le résultat classique suivant:
D’(x) = Det((B1)’,B2,B3,……….,Bn) +
Det(B1, (B2)’,B3,……………..,Bn) +
…………..
………......................................+
Det(B1,B2,B3,…………….,,Bn-1,(Bn)’)
Si tu appliques ça à B = xI -A où A ne dépend pas de x,
Tu vois que la colonne (B1)’ a tous ses termes nuls sauf le premier égal à 1
Conclusion: Det((B1)’,B2,B3,……….,Bn) est égal au cofacteur de la matrice xI - A relatif à la position (1,1)
le deuxième terme de la somme ci-dessus sera le cofacteur de xI-A relatif à la position (2,2)….etc……….
La somme des n termes (somme ci-dessus) sera donc la trace de la comatrice de xI-A (ou de sa transposée.

[Vaffreingue]

Bj
je reprends ce que tu dis.
B(x) une matrice nxn dépendant de la variable x et déterminée par ses colonnes
B(x) = (B1(x)|B2(x)|……….|Bn(x))
Je note D(x) le déterminant de B(x)
On a le résultat classique suivant:
D’(x) = Det((B1)’,B2,B3,……….,Bn) +
Det(B1, (B2)’,B3,……………..,Bn) +
…………..
………......................................+
Det(B1,B2,B3,…………….,,Bn-1,(Bn)’)
Si tu appliques ça à B = xI -A où A ne dépend pas de x,
Tu vois que la colonne (B1)’ a tous ses termes nuls sauf le premier égal à 1
Conclusion: Det((B1)’,B2,B3,……….,Bn) est égal au cofacteur de la matrice xI - A relatif à la position (1,1)
le deuxième terme de la somme ci-dessus sera le cofacteur de xI-A relatif à la position (2,2)….etc……….
La somme des n termes (somme ci-dessus) sera donc la trace de la comatrice de xI-A (ou de sa transposée.

Ah oui, c'est vrai que je n'avais pas imaginé proceder sous cet angle, merci beaucoup !

mais pourquoi ce determinant serait le cofacteur ? Dans le calcul de la comatrice on a bien des +1 et -1 qui se baladent, alors pourquoi pas ici ?

[Maxmau]

Ah oui, c'est vrai que je n'avais pas imaginé proceder sous cet angle, merci beaucoup !

mais pourquoi ce determinant serait le cofacteur ? Dans le calcul de la comatrice on a bien des +1 et -1 qui se baladent, alors pourquoi pas ici ?

Dans la règle des signes pour le calcul des cofacteurs, les positions diagonales (comme dans le précédent calcul) sont affectées du signe +

[Vaffreingue]

Dans la règle des signes pour le calcul des cofacteurs, les positions diagonales (comme dans le précédent calcul) sont affectées du signe +

Exacte ! Très très beau ! Merci beaucoup ! =)