Matrice inversibles

[naruto2mars]

Bonjour, je voudrais savoir les différentes manières de montrer qu'une matrice est inversible. Dans mon cours, on fait allusion a AX=0 et AX=b mais je ne vois pas très bien a quoi sa correspond. Je précise que je ne suis qu'en première année.
Merci d'avance pour vos explication

[sniperamine]

Bonjour, je voudrais savoir les différentes manières de montrer qu'une matrice est inversible. Dans mon cours, on fait allusion a AX=0 et AX=b mais je ne vois pas très bien a quoi sa correspond. Je précise que je ne suis qu'en première année.
Merci d'avance pour vos explication

Bonsoir, as tu fait les déterminants ?

[naruto2mars]

Non, je ne les ai pas vues. J'ai uniquement vue le pivot de gauss pour inverser une matrice mais je ne vois pas comment montrer qu'une matrice est inversible

[Antho07]

Bonsoir,

La matrice A est inversible si l'equation AX=0 a pour unique solution X=0.

[naruto2mars]

Pourriez vous me donner un exemple d'inversibilité et de non inversibilité pour que se soit plus clair s'il vous plait.

[Clise]

Bonjour,

Par exemple

est inversible car l'equation AX=0 a pour unique solution X=0.

En effet,
AX = 0






En ce qui concerne les matrices non inversibles, il suffit de trouver une autre solution au système linéaire AX = 0 que 0 pour que la matrice A ne soit pas inversible. Par exemple,

n'est pas inversible car

sont des solutions au système AX = 0

[naruto2mars]

Merci pour cet exemple simple. Par contre j'ai un problème avec la matrice suivante qui n'est pas inversible. Pourquoi n'est elle pas inversible?

1 0 ;)1
0 1 ;)2
;)2 2 ;)2

[Clise]

Comme je l'ai dit dans mon message précédent, il faut que tu trouves une solution au système AX = 0 autre que i.e



Essaye ...

[naruto2mars]

Ok désolé j'avais pas vu la suite de ton message. Donc si une matrice (son système) a plusieurs solution, elle n'est pas inversible et si elle a une unique solution et que cette solution est le vecteur nul alors elle est inversible

[Antho07]

Ok désolé j'avais pas vu la suite de ton message. Donc si une matrice (son système) a plusieurs solution, elle n'est pas inversible et si elle a une unique solution et que cette solution est le vecteur nul alors elle est inversible

Le vecteur nulle est toujours solution de AX=0 , il faut que cela soit la seule solution.

(que le noyau soit réduit à 0 si tu préferes)

[naruto2mars]

Et comment voit-on qu'il y a une unique solution?

[Antho07]

On pose

On resout le systeme

AX=0 (par le pivot de gauss par exemple)

et si

est l'unique solution alors c'est que la matrice est inversible

[naruto2mars]

Et comment choisit-on les valeurs de X? On prend celles de la matrice ?

[Antho07]

X c'est l'inconnu ....

[naruto2mars]

Si on prend le système précédent

Bonjour,

Par exemple

est inversible car l'equation AX=0 a pour unique solution X=0.

En effet,
AX = 0






En ce qui concerne les matrices non inversibles, il suffit de trouver une autre solution au système linéaire AX = 0 que 0 pour que la matrice A ne soit pas inversible. Par exemple,

n'est pas inversible car

sont des solutions au système AX = 0

on voit directement les valeurs de x qui permettent d'annuler la ligne. Mais si on ne voit pas les valeurs directement comment sait on que l'unique solution est 0?

[Antho07]

On resout un systeme avec le pivot de gauss

Si



alors AX=0 equivaut à



que l'on resout avec le pivot de gauss

[naruto2mars]

Enfin, j'ai compris! A chaque fois je faisais un système dont la matrice n'était pas inversible et je trouver qu'elle était inversible. J'ai vu l'erreur dans mon système donc maintenant j'ai compris le principe.
Merci à tous pour votre aide et votre patience