Matrices inversibles

par **goudou** » 15 Juin 2009, 16:05

Autre question à part. "Ecrire la matrice de f dans la base canonique (1,x,x²) de R2[x]", revient il a écrire A=mat(f,(1,x,x²),(1,x,x²)) ? ?

par **Nightmare** » 15 Juin 2009, 16:18

Sais-tu ce qu'est une combinaison linéaire? C'est la base du cours d'algèbre linéaire, il serait bon de le savoir :lol3:

Oui pour la deuxième question.

par **goudou** » 15 Juin 2009, 16:29

Oui oui bien sûr, je sais ce qu'est une combinaison linéaire !
Si v1, ... , vn sont des vecteurs, et a1, ..., an des scalaires, alors la combinaison linéaires de ces vecteurs par les scalaires est a1v1+ ... + anvn

Mais je ne vois pas le rapport avec l'inverse
Je continue dans les annales, j'ai du trouver l'inverse d'une matrice, j'ai donc posé par un système de 9 équations (matrice d'ordre 3) pour dire d'avancer. Ce n'est pas très pratique, mais j'ai réussi à trouver la solution.
Je dois vraiment être bornée pour ne pas comprendre la méthode ><

par **Nightmare** » 15 Juin 2009, 17:04

Le but est d'effectuer des combinaisons linéaires sur les lignes ou les colonnes de la matrice dans le but d'obtenir l'identité.

L'idée, comme indiquée sur le site que tu n'as pas dû bien lire, est d'écrire sur sa feuille la matrice M qu'on souhaite inversée et à côté l'identité.

On effectue alors les même combinaisons sur l'identité qu'on effectue sur M pour en trouver l'inverse. La matrice qu'on obtient en partant de l'identité est alors l'inverse de M.

Exemple avec une matrice 2x2 :

On effectue

On obtient :

On effectue

On obtient :

On effectue

On obtient

par **Ptiboudelard** » 15 Juin 2009, 17:48

Nightmare : je vais approfondir le théorème de Cayley-Hamilton en faisant quelques recherches car je ne l'ai jamais encore abordé ;-) Merci du tuyau en tous cas !

par **goudou** » 15 Juin 2009, 18:35

J'ai compris le principe général de la méthode. En tout cas, je comprends de quoi on démarre, comment on applique la combinaison, quand on s'arrête.
Ce que je ne comprends pas, et c'est pourtant primordial, c'est quelle combinaison on applique.
Dans ton exemple, je ne comprends pas pourquoi tu fais L2->L2-2L1, puis C2->C2-2C1. Pourquoi d'abord, les lignes, après les colonnes, pourquoi 2 fois L1 ... Enfin, ça, la formule, je ne la comprends pas =/

par **Nightmare** » 15 Juin 2009, 21:38

Tu sais, si tu comptes faire beaucoup de maths dans le supérieur, il faut te mettre à réfléchir par toi même et non te borner à ce qu'on te dit.

En l'occurrence ici je t'ai donné un exemple simple d'application du pivot de Gauss-Jordan, à toi de réfléchir un peu pourquoi j'ai pris ces combinaisons, dans quel but. Ce n'est pas difficile, c'est ce qu'on fait depuis la 3ème quand on résout des systèmes :lol3:

par **Ptiboudelard** » 15 Juin 2009, 21:48

Exactement on a souvent le choix entre la methode des pivots de gauss avec resolution de systemes ou la methode de gauss jordan!!!

par **goudou** » 15 Juin 2009, 22:06

Je crois avoir compris !
Je viens d'essayer sur un exemple d'une matrice d'ordre 3 mais je bloque, enfin, je n'arrive pas à avoir la matrice identité dans la partie gauche.
En tout cas, je suis presque sûre que j'ai la méthode.

Peux tu me dire si je démarre bien? J'ai pris la matrice (qui est bien inversible)
2 1 -1
0 1 0
1 -1 2

J'écris donc
2 1 -1 | 1 0 0
0 1 0 .| 0 1 0
1 -1 2 | 0 0 1, et de là, j'ai commencé à appliquer L1->L1-L3 ...

On a donc
1 2 -3 | 1 0 -1
0 1 0 .| 0 1 0
1 -1 2 | 0 0 1, et de là, j'ai appliqué L3->L3-L1 ...

Je ne sais pas si c'est correct, j'arrive en tout cas avec C1 qui est bien de la forme
1
0
0
Mais j'ai beau continué, je ne retombe pas sur la matrice identité. Peut être n'ai je pas bien démarré? Ou alors c'est normal que ce soit "long" à trouver?

par **ffpower** » 15 Juin 2009, 23:11

Pardon,mais il me semble que pour cette methode,on n a le droit qu aux opérations sur les lignes non?

par **Nightmare** » 15 Juin 2009, 23:13

Effectivement, c'est pour le calcul de rang que ce n'est pas important.

par **goudou** » 16 Juin 2009, 10:32

Pour le calcul de rang ?
Euh en fait je ne suis pas sûre d'avoir compris (Désolée ><)
Avec l'exemple que tu as donné, la matrice inverse que tu trouves est bien
1 -2
2 -5 ?
Car j'ai retesté par ma méthode compliqué en posant
1 2 * a b = 1 0
2 3 . c d . 0 1
Et au final, je trouve la matrice
-3 2
2 -1, qui serait la matrice inverse. J'ai vérifié sur le net, et c'est bien ça.

par **ffpower** » 16 Juin 2009, 10:52

oui,ton calcul est juste.Pour la methode du pivot,il ne faut faire que des opérations sur les lignes,donc le caclcul C2-2C1 est faux

par **goudou** » 16 Juin 2009, 11:40

J'ai réussi à retrouver le bon résultat en n'appliquant la méthode du pivot que sur les lignes !

1 2 | 1 0
2 3 | 0 1, on applique L2->L2-2L1

1 2 | 1 0
0 -1|-2 1, on applique L2->-L2

1 2 | 1 0
0 1 | 2 -1, on applique L1->L1-2L2

1 0 |-3 2
0 1| 2 -1, et on retrouve ainsi dans la partie droite la bonne matrice!
J'ai donc bien compris la méthode du pivot =)

par **Ptiboudelard** » 16 Juin 2009, 16:21

c'est nickel ;-)

par **kolmogorov** » 16 Juin 2009, 18:39

salut

au debut pour l'inverssibilité d'une matrice si on a une matrice non carré donc on ignore l'inverssibilt"é.

d'autre part , une condition necessaire et suffisante pour qu'une matrice carré soit inverssible il faut et il suffit que son det. soit non nul

pour le calcul de la matrice inversse on a le procédé suivant::

A^-1 = 1/det(a)* com(A)

avec com(A) c'est la coomatrice de A ces elements se calculant de la façon suivante:

A(ij)=(1-)^i+j *det(a(i,j))

avec (a(i,j) ) est la matrice en elliminant dans A la ligne i et la colonne j

mercie et bonne chance

par **Nightmare** » 16 Juin 2009, 18:59

L'idéal serait de lire les posts kolmogorov avant d'en poster un toi même histoire de ne pas radoter comme tu le fais.

par **goudou** » 16 Juin 2009, 19:15

Kolmogorov, je n'ai pas vu la méthode du calcul du déterminant ;) Dommage d'ailleurs, elle a l'air d'être plus rapide !

par **Nightmare** » 17 Juin 2009, 11:34

goudou a écrit:Kolmogorov, je n'ai pas vu la méthode du calcul du déterminant Dommage d'ailleurs, elle a l'air d'être plus rapide !

Pas d'inquiétude, cette méthode est loin d'être efficace dès que la taille de la matrice dépasse 4.

par **goudou** » 17 Juin 2009, 15:01

Ah d'accord ! En même temps, quand j'ai recherché sur internet, je ne voyais que des exemples sur des matrices d'ordre 3, 4 grand maximum ...

Par curiosité, j'ai regardé des annales d'analyse, et je bloque sur une primitive (je ne veux pas ouvrir un sujet juste pour ça, donc excusez moi de poster à nouveau ici) ...
f(x)= intégrale (de 0 à 1) 1/(1-t²) dt
Je n'arrive pas à trouver la primitive de 1/(1-t²) !! J'ai beau décomposer de 1/(1-t)* 1/(1+t) et tenter une IPP; pas moyen d'y arriver. Et j'avoue que là, je commence à perdre patience !
Quelqu'un a une idée ??

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