Décomposition des matrices inversibles d'ordre 2

[Doraki]

Si a est transcendant, les relations entre f et g sont indépendantes de a et sont celles qu'on a tout le temps de toute façons.

Soit H le sous-groupe de G formé des translations.
H est commutatif, normal dans G.
G/H est libre à 1 élément, engendré par la classe de g.
Quant à H, il me semble isomorphe à Z[X,1/X].

Une forme normale serait un truc du genre :
g^k * (produit commutatif de termes de la forme g^n.f.g^-n ou g^n.f^-1.g^-n)

edit : pour PSL(Z), j'ai volontairement caché z -> -1/z, mais sinon, z -> -1/z et z -> z+1 sont bien générateurs il me semble.

[Ben314]

Petit à petit, ça me revient :
De 'beaux' générateurs de SL(Z) sont (d'ordre 6) et (d'ordre 4) avec comme seule relation
Ce qui dit que SL(Z) est un produit amalgamé de Z/6 et Z/4.
Quand on passe à PSL(Z) (i.e. aux homographies) devient d'ordre 3 et d'ordre 2 d'où PSL(Z) est le produit libre de Z/3 et Z/2.

[Doraki]

Ah en effet c'est joli.
J'avais pas remarqué que z->1-1/z pouvait jouer un beau rôle comme ça.

[Ben314]

Ca permet de voir pas mal de chose :
Tout élément de SL2(Z) s'écrit de manière unique comme produit de A, A² et B (en alternant évidement A et B)

Comme C=(z -> z+1)=AB et D=(z -> z/(z+1))=A²B, on voit immédiatement qu'ils forment un sous groupe H libre.

P.S. : Je viens d'écrire une connerie (car je t'ai fait confiance !!!)
Le groupe n'est pas libre car DC^-1=A est d'ordre 3....

[Nightmare]

Petit à petit, ça me revient :
De 'beaux' générateurs de SL(Z) sont (d'ordre 6) et (d'ordre 4) avec comme seule relation
Ce qui dit que SL(Z) est un produit amalgamé de Z/6 et Z/4.
Quand on passe à PSL(Z) (i.e. aux homographies) devient d'ordre 3 et d'ordre 2 d'où PSL(Z) est le produit libre de Z/3 et Z/2.

Désolé j'ai lâché un peu le fil, préparation de vacances obligent, mais c'est toujours un plaisir de vous lire, surtout quand tu nous sors ça :lol3:

Doraki > Oui je me rends compte que je suis passé à côté de trucs intéressants en oubliant ces homothéties pathologiques pour l'exercice.

Je précise que l'énoncé reste correct pour n'importe quel groupe finalement (et c'est ce qui porte le nom de théorème de Tits) :

Soit (Gi) une famille de sous-groupe engendrant G, ce dernier opérant sur un ensemble S. (Si) des sous-ensembles de S et si dans S\

Si pour tout g dans Gi, et pour tout i, alors G est somme des (Gi).

:happy3:

[Ben314]

Je ne savais pas que ce résultat s'appelait "théorème de Tits".
Pour moi, c'est une des différentes formulation du "lemme du ping pong"

Sous Google, "lemme du ping pong" renvoie sur des tas d'énoncés légèrement différents et j'ai eu la flemme de voir si dans le lot il y avait exactement celui là...
Le premier lien :
http://en.wikipedia.org/wiki/Ping-pong_lemma
Donne une version qui ressemble beaucoup à ce théorème.
Beaucoup d'autres ne donne la version qu'avec deux sous groupes (c'est de là que vient le terme de ping-pong) mais une simple réccurence suffit à les généraliser...

[Nightmare]

Oui le théorème y est, section "ping-pong lemma for several subgroups".

Pour ma part, je ne connaissais le théorème ni sous le nom de Tits, ni sous le nom de lemme du ping pong. En fait, je ne le connaissais pas du tout :lol3:

Cela dit je vois qu'il a beaucoup d'applications enrichissantes.

[Doraki]

P.S. : Je viens d'écrire une connerie (car je t'ai fait confiance !!!)
Le groupe n'est pas libre car DC^-1=A est d'ordre 3....

Ah oui... encore une fois j'ai parlé trop vite, désolé ^^'
J'ai trop l'habitude de ne regarder que le monoïde formé par C et D et d'oublier le reste.
Mais grâce à toi je connais mieux PSL(Z) en entier maintenant .