Maths injection et surjection

[sarah4]

Bonjour,
Il

[mathelot]

Si quelqu’un pouvait m’aider ce serait vraiment sympa.

@sara4 a effacé sa question. Elle se demandait à quelles conditions la fonction g, définie de R-{1} dans R
pouvait être rendue bijective. Concernant l'injectivité de g, elle avait posé comme hypothèse (x1+1)/(x1-1)=(x2+1)/(x2-1) pour deux réels x1 et x2, sans mener le calcul jusqu'au bout.Elle ne savait pas comment traiter la surjection: g est elle surjective ?


Bonsoir,
soit avec et
Pour obtenir , calcule x fonction de y (par produit en croix)

si on peut calculer x fonction de y, ceci prouve qu'il existe un et un seul antécédent de y
et donc que la restriction de g à R-{1} est bijective (évidemment en précisant les domaines de départ et d'arrivée et en restreignant le domaine d'arrivée de g)

si tu calcules la fonction f, réciproque de g, une surprise t'attend (!)

De plus, lors du calcul de x, il y a une restriction sur y qui apparait, ce qui permet de définir le domaine de définition de f.

[mathelot]

Soient x et y deux réels différents de 1. et

si on pose
(*)
alors y est l'image de x par la fonction g et x est un antécédent de y , toujours par la fonction g.

on va calculer x fonction de y
y(x-1)=x+1
yx - x =y+1
x(y-1)=y+1
là, il faut supposer y différent de 1
(**)

conclusion:
Les réels y différents de 1 ont un antécédent.
g , restreinte au codomaine R-{1} est surjective. (le codomaine est l'espace d'arrivée de g)

L'antécédent x calculé est unique. Donc g est injective.

finalement, g est une bijection de R-{1} sur R-{1}

soit f la bijection réciproque de g. x=f(y)

d'après (**)

la surprise est que f=g

[vam]

Bonsoir

au moins le 3e site pour la même demande...que c'est pénible...

[mathelot]

autres méthodes

soient et deux réels différents de 1.



soit par produit en croix










La fonction g est donc injective.

L'examen du tableau de variation de g montre que g est une surjection , de R-{1} sur R-{1}