Lemme de Borel Cantelli

[Als128]

Bonjour,

Quelqu'un peut m'expliquer sa demonstration ? J'ai du mal avec les explications de mon bouquin
Le lemme est :

Soit une suite de'ensemble mesurables telle que la serie positive de terme général converge
Alors l'ensemble des points de qui appartient à une infinité d'ensembles est m-negligeable

Merci !

[Ben314]

Il me semble que la contraposée, c'est à dire :

Citation:
Soit une suite de'ensemble mesurables telle que l'ensemble des points de qui appartient à une infinité d'ensembles est de mesure
Alors la serie positive de terme général diverge

Est assez simple à démontrer...

[Ben314]

Bonjour,
Si tu note X l'ensemble des points de qui appartient à une infinité d'ensembles alors tu as :

Ce résultat est une simple (???) traduction de la définition de X en terme d'ensembles : et de la "petite astuce" consistant à voir qu'une partie de est infinie ssi elle n'est pas majorée.
Ensuite, tu calcule en utilisant le fait que, si alors la suite est décroissante et vérifie (à justifier)
Enfin, tu majore de façon assez bête, la valeur de m(B_k)...

Ca te va ?

[Als128]

Comment tu utilises la convergence de la serie de terme générale m(An) ?
Une autre question pour dissiper un doute quans tu écris ca veut bien dire que la mesure existe et est finie, c'est ça ?

Sinon le bouquin utilise une autre forme de démonstration en utilisant f qui definit le nombre d'ensembles tq f est mesurable car

mais apres je trouve les explications peu claires.

Merci de m'aider !

[Ben314]

J'imagine (à peu prés) la preuve du bouquin (qui est peut-être un peu plus théorique que celle que je te propose)
Si tu veux comprendre la mienne,
Oui, est bien un "racourci" pour dire Bo mesurable de mesure finie.
Et j'utilise la c.v. de la série des m(A_n) pour prouver que et pour prouver que tend vers 0 lorsque k tend vers l'infini.

P.S. Là ou je suis pas sûr de mon coup, c'est est-ce que le "Lemme de Borel Cantelli" ce démontre APRES le théorème qui dit :
"Si B_k est une suite décroissante (pour l'inclusion) de parties mesurables telles que m(B_o)<infini alors la mesure de l'intersection de B_k est la limite des mesures des B_k"
Je pense que oui...

P.S.2 En réfléchissant un peu, on n'a pas besoin du "théorème" ici car la limite étant 0, une simple majoration suffit

[Als128]

Oui je pense que c'est bon... Merci !