Théorie de la Mesure : Borel Cantelli

[silent_james]

Bonsoir à tous,

Je n'arrive pas à résoudre un exercice d'application du théorème de Borel Cantelli.
Le voici :

Soit X un ensemble, T une tribu de parties de X, m une mesure positive.
Pour tout E appartenant à l'ensemble des parties de X, on définit :
m*(E) := inf {m(A) , A appartenant à T et E inclus dans A}
Soit N une partie de X.
Montrer que :
m*(N)=0 ==> N est m-négligeable.

Voilà ce que j'ai fait :
Il existe une suite (An)_n à valeurs dans T telle que :
- pour tout n, N inclus dans An
- m(An) tend vers 0 qd n-> infini
Ensuite, je n'arrive pas à déduire que la série de terme général An est convergente.
Je l'ai admis, et j'obtiens par Borel Cantelli :
m(A) = 0 où A = intersection des
entiers n naturels de la réunion des k>n de Ak.
A appartient à T et N inclus dans A donc N est m-négligeable.

Voilà, en espérant que quelqu'un pourra m'aider ;)

Merci

[alavacommejetepousse]

bonjour

pour tout n il existe An dans T avec E C An et m(An)<1/2^n donc la série converge et tu finis comme tu as fait.

[silent_james]

Merci alavacommejetepousse de prêter attention à mon message.
Je n'ai pas compris, qu'est-ce qui permet de dire qu'une telle suite existe ?
Tu veux dire que pour approcher l'inf, on peut choisir une suite d'ensembles dont la mesure tend vers 0 aussi "vite" que l'on veut ?

[ffpower]

Ben ouais,quitte a extraire..(par ex de la suite 1/n,on peut extraire la suite 1/2^n)
Sinon,ya pas vraient besoin de borel cantelli.Il suffit de poser Bn=An inter A(n-1) inter...inter A1. Alors Bn vérifie les memes propriétés que An,mais qui plus est Bn est décroissante pour l inclusion donc m(intersection de Bn))=lim m(Bn)=0 ce qui permet de conclure

[silent_james]

Ok merci à tous ;)
Bonne journée

[alavacommejetepousse]

Tu veux dire que pour approcher l'inf, on peut choisir une suite d'ensembles dont la mesure tend vers 0 aussi "vite" que l'on veut ?

ben oui pour tout epsilon >0 il existe A ; E C A et m(A) <epsilon

en particulier pour tout n avec epsilon = 1/2^n
nul besoin d'extraire