Lemme d'arithmétique avec les nombres premiers

[PythagoreSauvage]

Bonsoir à tous, je souhaite démontrer le lemme suivant :

Soient premier, . Pour tout :

est un multiple de .

Il permet entre autre de calculer . En effet, d'après le lemme, les seuls éléments non premiers avec sont les multiples de et il en existe exactement entre 1 et .
Donc les éléments premiers avec , c'est à dire sont au nombre de .

On voit déjà que le sens indirect est évident : si est un multiple de il s'écrit avec dans et il suit (car est premier donc )

Je sèche sur le sens direct : est un multiple de . J'ai essayé de montrer la contraposée : supposons non multiple de i.e. et montrons que . J'ai ensuite essayé : si alors (mais je suis pas sûr ?) et ensuite essayer d'exprimer en conséquence

Si quelqu'un avait une piste, merci d'avance de vous pencher sur le problème

[mathelot]

bonsoir,
les diviseurs de sont de la forme avec entier

[lyceen95]

Et pour finir l'argument de Mathelot.
les diviseurs de sont de la forme
Et est un de ces nombres.

[PythagoreSauvage]

Hum ok j'ai compris ceux que vous me dites mais j'ai du mal à faire le lien. On est dans la contraposée là ?

[PythagoreSauvage]

AH ça y est j'ai compris. Les diviseurs de , dont , sont les avec . Mais ici on suppose que c'est à dire ou avec . Alors par définition du pgcd donc

J'en oubliais la propriété essentielle du pgcd de a et b qui n'es autre que .... diviser a et b