[Résolu] Un problème d'arithmétique (Nombres premiers)

[5H1NJ1]

Bonjour à tous,

Je butte sur un exercice depuis plusieurs heures, et mes collègues n'ont pas vraiment d'idée sur le sujet. Si vous avez la réponse, une idée de construction, une indication ; bref, si vous pouvez me débloquer, ce serait vraiment sympa. Merci d'avance.

J'ai répondu aux trois premières questions, c'est la question d qui me pose problème. J'écris l'énoncé :

Exercice :

Soit

a) Montrer que si premier divise alors .

b) Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.

On suppose .

c) Montrer que si et , alors divise .

d) Montrer que pour tout il existe premiers tels que et et tels que pour tout entier compris entre et n'est pas premier.

Je comprends la question, mais je ne vois pas comment construire de tels et . Bien sûr, il faut s'aider des questions précédentes, mais bon, je sèche... Merci à vous

[Ben314]

Salut,
Si tu regarde bien, la question c) montre que l'on peut trouver des suites d'entiers successifs aussi longue qu'on veut et ne contenant aucun nombre premier.
Détaille précisément qui sont les entiers de cette suite pour voir si tu comprend ce que je dit.

Ensuite, toujours en réfléchissant un peu, ça signifie qu'on peut toujours trouver deux nombres premiers successifs dont l'écart est aussi grand qu'on veut. Et le fait que ces deux nombres premiers successifs, on peut en plus les choisir arbitrairement grand, c'est relativement clair vu la façon dont on a montré leur existence. Voit tu pourquoi ?

[5H1NJ1]

Tout d'abord, merci de ta réponse.

Oui en effet, on peut construire une suite de nombres consécutifs non premiers. En choisissant le bon , on aura autant de nombres non premiers qu'on veut. J'ai bien senti qu'il faut l'utiliser pour "remplir" l'écart entre et . Et comme tu l'as dit, il existe une infinité de nombres premiers donc on peut les prendre aussi grand qu'on veut. J'ai l'impression qu'il faut construire et en fonction de l'écart qu'on va combler.

Cet écart entre et est de . En se basant sur la question c) on peut prendre un tel que , ce qui nous fait bien nombres consécutifs non premiers : . Posons et . Il reste a montrer qu'ils sont bien premiers. C'est l'idée ? Car je ne vois pas pourquoi ils seraient premiers

[Ben314]

Tes deux nombre n'ont pas de raison d'être premier et il est en général très difficile de montrer qu'un nombre résultat d'une "formule" est premier.
Donc c'est pas vraiment la bonne façon de procéder. Le truc bien plus simple, c'est de dire que si on part d'une suite arbitrairement longue de nombres non premier, il suffit de prendre pour p le plus grand nombre premier inférieur à ceux de la suite et de prendre pour q le plus petit nombre premier supérieur à ceux de la suite pour avoir deux nombres premiers successif dont l'écart est au moins égal à la longueur de la suite de non premier dont on est parti.

Bref, pour répondre à la question d) , jaurais écrit ça :
Comme la suite des nombres premier est infinie, il existe un nombre premier .
On choisi un entier tel que et .
On prend alors pour le plus grand nombre premier et pour le plus petit nombre premier (qui existe vu qu'il y a une infinité de premiers).
Ce sont évidement deux nombres premiers successifs donc tout entier compris strictement entre les deux est non premier.
De plus, vu sa définition, on a donc .
Enfin, comme sont tous non premier, c'est que donc

[5H1NJ1]

Merci beaucoup pour tes explications, et la rédaction est très claire. Comment es-tu arrivé à l'idée de construire ce ? Je n'y aurai jamais pensé !

[Ben314]

Quand tu encadre ta longue série de non premier par deux premiers p et q, tu as un petit soucis pour garantir que p (qui encadre par en dessous) est "aussi grand qu'on veut". Donc le en fait, il sert de "garde fou" pour assurer que p va être plus grand que alpha.
Et comme souvent, ce garde fou, tu ne te rend compte de sa nécessité que vers la fin de la démarche intellectuelle qui te conduit à la preuve, mais par contre, c'est lui qui apparait en premier dans la preuve rédigée proprement. Et c'est pour ça que souvent, on a l'impression qu'il "sort de nulle part" . . .

[5H1NJ1]

Je comprends l'idée, merci bien