Arithmétique - nombres premiers

[joquetino]

Bonjour,

J'ai un exercice sur les diviseurs et je n'arrive pas à résoudre l'exercice. Pouvez-vous m'aiguiller svp ?

Quel est le nombre maximum de diviseurs premiers que peut posséder un entier naturel n si son nombre de diviseurs est 9 ?

Il faut visiblement utiliser les décompositions en facteurs premiers.

Merci d'avance pour votre aide

[LB2]

Bonjour,

prends l'exercice dans l'autre sens :

combien de diviseurs a un nombre premier?
combien de diviseurs a un produit pq de deux nombres premiers distincts ?
combien de diviseurs a un produit pqr de trois nombres premiers distincts?
combien de diviseurs a un produit pq^2 ou p, q, sont premiers distincts ?

etc.

Tu peux bien sûr trouver une formule générale pour calculer le nombre de diviseurs en fonction de la décomposition en facteurs premiers

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Il suffit de remarquer que : 9 = 1 x 9 = 3 x 3 ;
puis que 9 = (0 + 1)(8 + 1) = (2 + 1)(2 + 1) .

[joquetino]

Ok merci à vous.

[joquetino]

Bonsoir

Sur un exercice du même type, je sèche, je me permet de mettre ma question sur ce même sujet :
il me demande de montrer que 56^6 est égal à 56 modulo 100.

Pour traiter ce genre de démonstration, y a t-il une astuce particulière ?

Merci

[aymanemaysae]

Bonjour ;


On a : ; donc : .

On a aussi : ; donc : ;
donc : .

Pour conclure , il suffit de remarquer que : .


Un autre chemin : on utilise sa calculatrice pour calculer 56^6 = 30 840 979 456 ; mais je ne pense
pas que c'est le chemin qu'attend ton professeur de Mathématiques .

[tournesol]

Sans calculs numeriques:
mod 100 ssi est divisible par 100 , c'est à dire par 4 et par 25 qui sont premiers entre eux.
56 est divisible par 4 , donc également
56=1 mod 5 , donc modulo 5 , on a donc est divisible par 5 . CQFD

[GaBuZoMeu]

Il y a un trou dans ta raquette, tournesol : il ne suffit pas d'être divisible par 5 pour être divisible par 25 !

[joquetino]

Bonjour,

Merci à vous.

J'ai un autre petit exo, je sollicite votre aide pour voir si mon raisonnement est faux ou non.

On a (dans Z) :
a+b = 51
a v b = 216 (ppcm)

1) Décomposer en produits de facteurs premiers
2) Quel est le pgcd de 51 et 216
3) Déterminer toutes les décompositions de 72 et 216 en produits d'entiers naturels premiers entre eux
4) Montrer que si a et b sont solution, alors leur pgcd divise celui de 51 et 216
5) Conclure

Les 3 premières questions ne m'ont pas posé de pbs (à priori en tout cas).

Pour le 4, j'ai essayé quelque chose, sans arriver au bout.

Soit k (dans Z) tel que k = pgcd(a,b)
Donc a = k*a'
et b = k*b'

a + b = ka' + kb' = k * (a'+b') = 51
donc pgcd(a,b) | 51

De plus, on a a v b = 216
Donc il existe q et q' (dans Z) tels que : q * a = 216 et q' * b = 216
On en déduit que a | 216 et b | 216

Or a = ka' et b = kb'
On en déduit de pgcd(a,b) | 216

Est-ce exact pour l'instant ? Il me manque quelque chose pour arriver au bout, vous pouvez m'aider ?

[tournesol]

Merci GaBuZoMeu
56=6 mod 25 et
le dernier facteur est égal à 1+1+1+1+1 mod 5 donc est divisible par 5 .
est donc bien divisible par 25

[GaBuZoMeu]

@joquetino : le pgcd est un diviseur commun. Il suffit de montrer que si d est un diviseur commun de a et b, alors il divise a+b et le ppcm de a et b, et donc aussi le pgcd de ces deux entiers (par définition du pgcd, si tu as la bonne définition).

[tournesol]

Pour la suite il est recommandé d'utiliser ppcm(a,b) X pgcd(a,b)=...

[joquetino]

Ok merci à vous. Malgré votre aide, j’ai du mal à terminer la démonstration ... je vais attendre demain pour voir si les choses sont plus claires

[joquetino]

@joquetino : le pgcd est un diviseur commun. Il suffit de montrer que si d est un diviseur commun de a et b, alors il divise a+b et le ppcm de a et b, et donc aussi le pgcd de ces deux entiers (par définition du pgcd, si tu as la bonne définition).

Bonjour GaBuZoMeu, peux-tu stp me redonner la bonne définition ? Avec celle que j’ai, j’ai du mal à arriver à ta conclusion.

Merci d’avance.

[GaBuZoMeu]

d est pgcd de a et b si et seulement si :
1) d est un diviseur commun de a et de b, et
2) tout diviseur commun de a et de b divise d.

[joquetino]

Ok merci