Isomorphisme vers Z

[Charmander]

Bonjour,

Soit D l'ensemble des nombres complexes z de la forme , pour tous k et n dans .
(D,*) est un groupe, avec * la loi multiplicative usuelle.
Existe-t-il un sous-groupe de D isomorphe à ?
On a démontré dans l'exercice précédent que l'ensemble des sous-groupes finis de D sont les racines 2^n-ièmes de l'unité (au cas où il y aurait un lien).

Résultat de mes recherches :
La question telle qu'elle est posée, elle laisse suggérer qu'il en existe. S'il en existe un, comme c'est une bijection, et que Z est infini, ce serait une application d'un groupe infini de D dans Z.
Or le seul sous-groupe infini de D est D lui-même(prouvé).
Donc on est amené à trouver un isomorphisme entre D et Z.
Au moyen de bricolages, j'ai réussi à créer une fonction bijective de D sur N, puis de N sur Z et en composant j'obtiens une bijection de D sur Z. Mais ce n'est pas un morphisme de groupe !
Je suis à court d'idées... Comment façonner un isomorphisme entre (D,*) et (Z,+) ?

Si vous voyez comment faire ! Merci d'avance !

[Ben314]

Bonsoir,
D et Z sont effectivement infinis tout les deux. MAIS
Quels sont les élément d'ordre fini de (Z,+) ?
Et ceux de (D,*) ?
donc...

[Charmander]

Bonsoir,
D et Z sont effectivement infinis tout les deux. MAIS
Quels sont les élément d'ordre fini de (Z,+) ?
Et ceux de (D,*) ?
donc...

Les éléments d'ordre fini de D sont les racine 2n-ième de l'unité, et les sous-groupes finis de (Z,+)... Je ne pense pas qu'il en existe
Or l'image d'un sous groupe fini par un idg est un sous groupe fini.
Donc il n'existe pas d'idg de D sur Z.

C'est ça ? Merci !

[Ben314]

Les éléments d'ordre fini de D sont les racine 2n-ième de l'unité

ça, c'est "plus ou moins" correct dans la formulation : comme D est l'ensemble des z=... , pour tout k et tout n dans N, n c'est pas une "constante donné par l'exercice" donc dans la phrase que tu écrit, on sait pas trop "qui" est n.
En fait, la bonne réponse, c'est que TOUT les éléments de D sont d'ordre fini : pour tout z de d, il existe un exposant m (dépendant évidement de z) tel que z*z*z*...*z(m fois)=1 (le neutre de (D,*))

Et concernant Z, effectivement, il n'y a "presque" pas de sous groupes finis (le seul est le singleton {0}) donc, à part 0, il n'y a aucun élément d'ordre fini : si a est un entier non nul, a+a+a+...+a(m fois) ne fait jamais 0 (le neutre de (Z,+)).

Cela prouve
- Que le seul morphisme de D dans Z est le morphisme trivial (z->0 pour tout z)
- Qu'il n'y a pas de morphismes injectifs de Z dans D car l'image de 1(dans Z) est un z de D qui, comme tout les élément de D, est d'ordre fini m. Donc f(m)=f(m.1)=z^m=1 et ker(f) n'est pas trivial.