[MPSI] Isomorphisme de groupe

[Euler07]

Bonsoir,

Je me pose une question... En effet, je sais que le groupe (R*+,X) est isomorphe au groupe (R,+). Mais y a t il un sens particulier, je veux dire par là est ce que cela revient au même de dire que le groupe (R,+) est isomorphe au groupe (R*+,X) ?

Quand on demande de démontrer que les groupes (Q,+) et (Q*,X) ne sont pas isomorphes, la démonstration qui consiste à résonner par l'absurde considère un isomorphisme de groupe de (Q,+) sur (Q*,X). Mais l'autre sens revient il au même ? Je sais pas si je suis clair :triste:

:livre:

[Manny06]

Bonsoir,

Je me pose une question... En effet, je sais que le groupe (R*+,X) est isomorphe au groupe (R,+). Mais y a t il un sens particulier, je veux dire par là est ce que cela revient au même de dire que le groupe (R,+) est isomorphe au groupe (R*+,X) ?

Quand on demande de démontrer que les groupes (Q,+) et (Q*,X) ne sont pas isomorphes, la démonstration qui consiste à résonner par l'absurde considère un isomorphisme de groupe de (Q,+) sur (Q*,X). Mais l'autre sens revient il au même ? Je sais pas si je suis clair :triste:

:livre:

vu sur wikipedia
un isomorphisme de groupe f est bijectif et f^-1 est aussi un isomorphisme de groupes

[Judoboy]

Si f est un isomorphisme de E vers F, f^-1 est un isomorphisme de F vers E. C'est pour ça qu'en général on dit "F et G sont isomorphes" sans donner de "sens" à l'isomorphisme. Tu peux donc évidemment écrire "E est isomorphe à F si et seulement si F est isomorphe à E".

En gros en algèbre quand t'as 2 groupes isomorphes, tu peux dire que c'est les mêmes ensembles dont on a renommé les éléments. Ils ont exactement les mêmes propriétés, y a que le nom des éléments qui change.

Par exemple (R+*,x) est isomorphe à (R,+) par le logarithme. Les éléments dans les 2 ensembles ont exactement les mêmes propriétés, sauf qu'à gauche on les appelle ln(x) et à droite on les appelle x.

Et la bijection inverse est l'exponentielle donc (R,+) est isomorphe à (R+*,x).

[Euler07]

Merci à vous deux, c'est clair dans ma tête :lol3:

:livre: