Isomorphisme de groupe

[Oeufslair]

Bonjour à tous,

Petite question concernant les isomorphismes de groupes : http://www.noelshack.com/2012-39-1348849532-groupe.jpg

Pour le cas pair, il parait qu'on peut prouver que c'est faux grâce aux centres des groupes, je sais que les centres de SO(2n) et O(2n) sont +-Id (contrairement à SO(2n+1) qui est seulement Id), je suppose que ça se joue là dessus sachant que Z2 contient +-Id mais je ne vois pas comment appliquer tout ça ?

Pour l'autre cas et en général, comment prouver que 2 groupes sont isomorphes ? Trouver un morphisme bijectif fut-il ? Ou y'a plus simple ?

Merci d'avance

[Luc]

Bonjour à tous,

Petite question concernant les isomorphismes de groupes : http://www.noelshack.com/2012-39-1348849532-groupe.jpg

Pour le cas pair, il parait qu'on peut prouver que c'est faux grâce aux centres des groupes, je sais que les centres de SO(2n) et O(2n) sont +-Id (contrairement à SO(2n+1) qui est seulement Id), je suppose que ça se joue là dessus sachant que Z2 contient +-Id mais je ne vois pas comment appliquer tout ça ?

Pour l'autre cas et en général, comment prouver que 2 groupes sont isomorphes ? Trouver un morphisme bijectif fut-il ? Ou y'a plus simple ?

Merci d'avance

Bonjour,

ici pour montrer les isomorphismes, on introduit un morphisme (la surjection canonique de O(n) dans SO(n) ) et on utilise un théorème de factorisation pour montrer l'isomorphisme en question.
En effet, SO(n) est construit comme groupe quotient de O(n) par son centre.
Du coup, d'après ce que tu dis, je dirais plutôt que c'est vrai dans le cas O(2n) et faux dans le cas O(2n+1). Pourquoi -Id n'est pas dans le centre de O(2n+1) ?

[Oeufslair]

Bonjour,

ici pour montrer les isomorphismes, on introduit un morphisme (la surjection canonique de O(n) dans SO(n) ) et on utilise un théorème de factorisation pour montrer l'isomorphisme en question.
En effet, SO(n) est construit comme groupe quotient de O(n) par son centre.
Du coup, d'après ce que tu dis, je dirais plutôt que c'est vrai dans le cas O(2n) et faux dans le cas O(2n+1). Pourquoi -Id n'est pas dans le centre de O(2n+1) ?

Je sais par le cours que l'isomorphisme est faux pour les espaces de dimensions paires et que donc le cas de O(2n) est faux et celui de O(2n+1) est vrai, c'est prendre le problème à l'envers mais au moins je sais ce que je cherche ^^

Et sur l'énoncé de l'exercice il est mis plus bas "Pour le cas faux, cela peut être montré grâce aux centres des 2 groupes", mais sans en dire d'avantage sur ces propriétés.

-Id fait partie du centre de O(2n+1), c'est SO(2n+1) qui ne compte que Id, car dans le cas impair le det de -Id=-1 qui ne fait pas partie de SO

Merci

[Luc]

Je sais par le cours que l'isomorphisme est faux pour les espaces de dimensions paires et que donc le cas de O(2n) est faux et celui de O(2n+1) est vrai, c'est prendre le problème à l'envers mais au moins je sais ce que je cherche ^^

Et sur l'énoncé de l'exercice il est mis plus bas "Pour le cas faux, cela peut être montré grâce aux centres des 2 groupes", mais sans en dire d'avantage sur ces propriétés.

-Id fait partie du centre de O(2n+1), c'est SO(2n+1) qui ne compte que Id, car dans le cas impair le det de -Id=-1 qui ne fait pas partie de SO

Merci

Oulah oui!
Oublie ce que j'ai dit sur les centres, c'est complètement faux! SO(n) n'est pas du tout le quotient de O(n) par son centre. En revanche, SO(n) est le noyau d'un morphisme intéressant : le déterminant (en caractéristique différente de deux).

Le centre de O(N) est {+Id,-Id}
Le centre de SO(N) est {+Id, -Id} si N est pair et {+Id} si N est impair.

Normalement, tu peux appliquer un théorème de factorisation à ce morphisme pour obtenir le résultat.

[Oeufslair]

Je ne suis pas sûr de voir, pour utiliser le théorème de factorisation j'ai besoin d'un quotient or y'en a pas ici (ou je me trompe de propriété ?).

Et je devrais utiliser ça aussi pour montrer que ça marche pas pour O(2n) ?

Merci

[Oeufslair]

Bonsoir,

Je pense avoir trouvé pour le cas impair :

Soit (X,Y) où X appartient à SO(2n+1) et Y à Z2

Je définis l'homomorphisme (X,Y) => XY, puisque det(XY) = det(X)*det(Y) = +-1 * +-1 = +-1 , XY appartient à O(2n+1).

Il reste à montrer que c'est bijectif pour prouver que c'est un isomorphisme (comment ? ça doit pas être compliqué mais j'ai pas souvenir de l'avoir déjà fait dans un cas pareil) et s'il existe un isomorphisme entre les 2 relations ça suffit pour montrer que les 2 groupes sont isomorphes je suppose ?

Par contre pour le cas pair, toujours aucune idée de l'astuce avec les centres :(

[Oeufslair]

Personne ne sait ? :(

[wserdx]

Petite question stupide (peut-être) :
c'est quoi dans ton énoncé ?

[Oeufslair]

Petite question stupide (peut-être) :
c'est quoi dans ton énoncé ?

La dimension de la matrice, O(n) = matrice nxn orthogonale

[wserdx]

dans le cas pair, s'il existe un morphisme alors doit être isomorphe à , ce qui n'est possible car les deux ensembles n'ont pas le même nombre d'éléments.

[Oeufslair]

Bien vu, je n'avais pas du tout penser à ça

Merci :)