Irréductible?

[rain]

Bonjour, est-ce que quelqu'un sait comment montrer que X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1 est irréductible sur Q?

[Joker62]

1+X^n = (1+X)(X^n-1 - X^(n-2) + X^(n-3) - ... + 1)

[Doraki]

C'est pas très long de montrer qu'il est irréductible modulo 2, donc irréductible tout court.

[rain]

Modulo 2 il me semble qu'il est divisible par X^3+X+1 et X^3+X^2+1, donc je vois pas.

[rain]

Ou alors on s'en fout car X²+X+1 ne le divise pas donc il a pas de facteurs de degré 3, comme pas de 2 et pas de 1 il est irréductible c çà?

[rain]

euuh si faut bien montrer qu'il a pas de facteurs de degré 3, car 6=3+3, mais alors ya un problème.

[Doraki]

Ah oui t'as raison.
Bah essaye modulo 3 pour une telle factorisation en deux polynomes de degré 3 alors =/

[wserdx]

Ses racines sont les racines 7ème de l'unité non réelles
car
Ses facteurs irréductibles sur sont donc

Est-ce que ça peut aider?

[rain]

Ses racines sont les racines 7ème de l'unité non réelles
car
Ses facteurs irréductibles sur sont donc

Est-ce que ça peut aider?

Je préfèrerai la méthode de Doraki, mais quelqu'un connait les irréductibles deg 2 et 3 dans Z/3Z?

[Doraki]

J'ai essayé les 18 polynômes unitaires de degré 3 qui ne se terminent pas par 0, et y'a pas de factorisation possible.
Comment ça c'est fastidieux ?

Ceci dit en utilisant la factorisation sur R, on voit que P est un produit de 3 polynomes de degré 2 dans R
Or modulo 2, on a appris que P ne peut être qu'un produit de deux polynomes de degré 3 dans Q.

Comme c'est incompatible, P est bien irréductible dans Q.

[rain]

Ses racines sont les racines 7ème de l'unité non réelles
car
Ses facteurs irréductibles sur sont donc

Est-ce que ça peut aider?

OK alors c comme ça qu'il faut faire, je comprend pas comment il trouve que
ses facteurs irréductibles sur sont donc
.

[rain]

J'ai essayé les 18 polynômes unitaires de degré 3 qui ne se terminent pas par 0, et y'a pas de factorisation possible.
Comment ça c'est fastidieux ?

Ceci dit en utilisant la factorisation sur R, on voit que P est un produit de 3 polynomes de degré 2 dans R
Or modulo 2, on a appris que P ne peut être qu'un produit de deux polynomes de degré 3 dans Q.

Comme c'est incompatible, P est bien irréductible dans Q.

Et comment tu le factorise sur R?

[Doraki]

Comme le dit wserdx,

(x-1)P(x) = x^7 - 1

On factorise ça sur C :
(x-1)P(x) = produit des (x - e^2ikpi/7) pour k= -3... +3

Pour avoir des facteurs dans R, on doit regrouper les racines conjuguées :
(x - e^2ikpi/7)(x - e^-2ikpi/7) = (x² - (e^2ikpi/7 + e^-2ikpi/7)x + e^0)
= (x² - 2cos(2kpi/7) + 1).
Pour k=0, e^2ikpi/7 = 1, c'est la seule racine réelle de (x-1)P(x).

On a donc que (x-1)P(x) = (x-1)*produit des (x² - 2cos(2kpi/7) + 1), k=1,2,3
Donc ça te donne P = produit des (x² - 2cos(2kpi/7) + 1), la factorisation de P sur R.

[rain]

OK c'est bon j'ai compris merci.

[mathelot]

bonjour,

petite remarque:
on doit pouvoir tout écrire à la main sans rien connaitre
(ni Galois, ni corps finis,etc..)

Il n'a pas de racine rationnelle (théorème de Gauss)
avec

il ne peut pas être le produit de deux polynomes de degré 3 à coefficients
rationnels car le polynôme n'a pas de racines réelles (racines 7ème de l'unité
non réelles) et les polynomes de degré 3 ont une racine réelle (tvi)

ses éventuels facteurs sont des polynomes de degré 4 et 2
L'éventuel facteur "trinôme du second degré" aurait pour
coefficient réel:
(k=1 ou 2 ou 3)

or les (k=1,2,3)
ne sont pas des nombres rationnels

(on le montre avec le polynome de Tchebycheff )

si est rationnel alors


or
n'a pas de racine rationnelle d'après le théorème de Gauss
appliqué avec irréductible.

Le polynôme n'a donc pas de facteur , à coefficients rationnels) de degré 2 non plus

[Maxmau]

Bonjour
C’est aussi, si je ne m'abuse, une conséquence du critère d’Eisenstein
Si p est un entier premier, le polynôme R(X) = 1 + X + X² + ….+X^(p-1) est irréductible dans Q[X] . On applique le critère d’Eisenstein au polynôme ((1+Y)^p – 1)/Y .