Elément irréductible mais non premier...

[ThSQ]

Merci !

C'est quoi ton livre d'algèbre préféré Léon ?

[ThSQ]

...parce que c'est pas au programme de MPSI...

Au point où on en est ! Les éléments irréductibles et premiers dans des anneaux non intègre c'est au prog ?

[leon1789]

C'est quoi ton livre d'algèbre préféré Léon ?

Livre de référence : Bourbaki , Algèbre et Algèbre Commutative.
Ils ne sont pas ultra pédagogiques, c'est vrai, mais ce qu'on trouve dedans est très solide. Cela dit, je n'en comprends que peut-être que 5% (et encore !). Il y a de bons passages, et d'autres plus ténébreux ou mal foutus. Dans l'ensemble, je trouve que c'est quand même incontournable. Problème : quand on cherche un truc précis, c'est parfois assez difficile de trouver... Il faudrait un index récapitulatif de tous leurs livres !

[DedenK]

Bah... chez nous, à Annecy, oui... Enfin, c'est dans le cours, quoi ! Après, savoir si c'est hors programme ou pas, je dirais que c'est pas mon boulot... LOL
Au final, Z/nZ l'est, ainsi que les définitions d'irréductible et de premier dans un anneau quelconque, alors......

[DedenK]

Euh... d'ailleurs, tant que j'y suis...
Tous mes sujets de la semaine sont terminés, mais est-ce que par hasard, pour l'an prochain, le grand Leon1789 aurait une idée pour une démonstration directe de "x non inversible => x associé à d=pgcd(x,n)", sans utiliser les idéaux et compagnie ?...
Avec x irréductible, ça marche bien, mais sans, j'ai passé des heures à retourner Bézout dans tous les sens, en vain !... :-(

[leon1789]

une démonstration directe de "[dans Z/nZ] x est associé à d=pgcd(x,n)", sans utiliser les idéaux et compagnie ?...

d divise x donc d* divise x*, disons x* = a*.d*
Bézout entre n et x dans Z montre que x* divise d*, disons d* = b*.x*
Ainsi (1-a*b*).d*=0, donc n divise (1-ab)d, donc pgcd(a, n/d)=1

On pose k = le produit des nombres premiers divisant n mais pas a. (Comprendre que l'on pose k=1 dans l'hypothèse où il n'existe pas des nombres premiers divisant n et pas a)

Alors e=a+k(n/d) est premier avec n. En effet, soit p est premier divisant n.
--- Si p ne divise pas a alors p divise k, donc p ne divise pas e.
--- Si p divise a alors p ne divise n/d et p ne divise pas k, donc p ne divise pas k(n/d) , donc p ne divise pas e.

Enfin, e.d = (a+k(n/d) ).d = a.d + kn donc e*.d* = a*.d* = x* avec e* inversible !

[leon1789]

Si ça intéresse les gens, il y a une généralisation :
Soit A un anneau commutatif où tout idéal premier est maximal (par exemple A un anneau fini) , deux éléments engendrant le même idéal sont associés. :id:

[DedenK]

Bonjour,

C'est là que je dis : "Putain, le salop, il a déjà réussi !!! Je suis vraiment trop nul !"...
Le coup du x* divise d*, voilà ce qui me manquait ! C'est énorme. Je dis vraiment chapeau et respect ! Fallait y penser...
Je vais ériger un autel à la gloire du grand Leon1789 dans le fond de mon jardin ! :-D

Je pense que ça, ce sera pour l'an prochain, dans un sujet en deux petits exos... C'est vraiment cool. Merci.

Respectueusement, DedenK.

[ThSQ]

par exemple A un anneau fini

Tout anneau intègre fini est un corps :ruse:

Soit A un anneau commutatif où tout idéal premier est maximal

Tu aurais un exemple (non noethérien) d'un tel anneau ?

[leon1789]

Tout anneau intègre fini est un corps :ruse:

oui, c'est pour ça que l'on peut l'appliquer au problème de DedenK

Tu aurais un exemple (non noethérien) d'un tel anneau ?

Par exemple l'anneau des suites réelles N -> R, celui des fonctions complexes de C -> C, bref tout produit (infini, sinon c'est noethérien) de corps.

Soit A un anneau possédant la propriété (tout idéal premier est maximal). Alors l'anneau des suites à valeurs dans A à support fini () possède aussi la propriété.
L'anneau des suites à valeurs dans A () n'a pas forcément la propriété.