Polynôme irréductible

par **Ncdk** » 09 Déc 2015, 15:42

Bonjour,

Je voulais vous demander des explications sur les polynômes à coefficient dans un anneau.

On dit que P est un polynôme irréductible si P est non-inversible et que ses diviseurs sont soit un polynôme constant, soit un produit de lui-même par un polynôme constant.

Donc si on s'intéresse à un polynôme P et qu'on essaie de le décomposer en produit de polynôme pour savoir si oui ou non il est irréductible donc de regarder si P=QR et d'avoir des informations sur Q et R qui sont eux aussi des polynômes.
Si le degré de Q et le degré de R sont différents de 0, alors on est sur que le polynôme est réductible non ?

D'ailleurs si on prend un polynôme à coefficient dans Z, que l'on note P. Si P à au moins une racine dans Z, il est réductible non ? Par contre s'il a pas de racine dans Z mais une dans R au moins, on ne peut pas conclure sur le fait qu'il est irréductible ou pas ?

Une autre question comme ça, mais comment savoir si un polynôme est inversible, je sais si P est inversible alors on peut trouver un polynôme Q tel que PQ=1, mais ce genre de situation est rare si le de P est différent de 0 non ?

par **Doraki** » 09 Déc 2015, 16:00

Dans n'importe quel anneau commutatif, x est irréductible si les seules factorisations de x sont de la forme u * (vx) où u est inversible et v est l'inverse de u. (ou (vx)*u)

Dans le cas d'un anneau de polynômes R[X], un polynôme non constant ne peut pas être inversible (puisque deg(PQ) = deg(P)+deg(Q) et deg(1)=0, si PQ=1 alors deg(P)=deg(Q)=0).
Donc si PQ = 1 alors PQ sont des constantes, donc des éléments de R. Et comme PQ=1, ils doivent être des éléments inversibles de R. Réciproquement n'importe quel inversible de R donne un polynôme inversible de R[X]. Donc les inversibles de R[X] sont les inversibles de R.

Pour tester l'irréductibilité il ne suffit pas de regarder le degré de Q et de R dans les factorisations de P, par exemple dans Z[X], 4X = 2*(2X) n'est pas irréductible bien que toutes ses factorisations font intervenir des polynômes constants. (2 n'est pas inversible)

par **Ncdk** » 09 Déc 2015, 16:15

Doraki a écrit:Pour tester l'irréductibilité il ne suffit pas de regarder le degré de Q et de R dans les factorisations de P, par exemple dans Z[X], 4X = 2*(2X) n'est pas irréductible bien que toutes ses factorisations font intervenir des polynômes constants. (2 n'est pas inversible)

Ah oui merci pour l'exemple, on pouvait aussi voir que c'était pas un produit d'un polynôme constant par lui-même non ? Et puis d'ailleurs ces diviseurs ne sont pas tous des polynômes constants.

Je me trompe ou c'est ça ?

par **Doraki** » 09 Déc 2015, 16:25

Oui 2X n'est pas le produit de 4X par un polynôme constant.
Je trouve que tu te fixes trop sur le concept de polynôme constant alors que c'est en fait le concept d'inversible qui est important. La moitié des trucs que tu écris sont faux parceque tu écris constant à la place d'inversible.

"Et puis d'ailleurs ces diviseurs ne sont pas tous des polynômes constants."
euh là je vois pas où tu veux en venir.
Par exemple (toujours dans Z[X]), 4 n'est pas irréductible bien que tous ses diviseurs soient des polynômes constants.
et X²+1 est irréductible bien que X²+1 en est un diviseur non constant.

par **Ncdk** » 09 Déc 2015, 16:38

Je voulais m'en tenir à la définition d'un polynôme irréductible.

Il faut vérifier que le polynôme P est non inversible et après il faut voir si les diviseurs de P sont des polynômes constants ou bien que les diviseurs de P sont un produit d'un polynôme constant par lui-même.

Du coup s'il est deux sont fausses alors il est pas irréductible.

Question surement bête, mais les polynômes constants sont pas irréductibles, mais pas réductibles aussi.
Mais pour les autres polynômes, si on prends un polynôme P, qu'on prouve qu'il est pas irréductible, on est sur qu'il est réductible ? Ou il peut être ni l'un, ni l'autre ?

par **Doraki** » 09 Déc 2015, 16:44

Tu as une définition bizarre de "irréductible" alors.

La définition usuelle est celle que j'ai donnée dans ma première réponse.

Généralement la définition de réductible c'est que x peut s'écrire comme produit de 2 éléments non INVERSIBLES.

La négation de cette phrase est la définition d'irréductible, c'est que x ne peut pas s'écrire comme produit de 2 éléments non INVERSIBLES, c'est-à-dire si x = uv alors l'un des deux est INVERSIBLE.

Donc soit tu es irréductible, soit tu es réductible.

par **Ben314** » 09 Déc 2015, 16:54

Y'a un petit soucis quand même avec les inversible : il me semble bien qu'en général on les considère comme non irréductible (en le rajoutant dans la définition), non ?
D'un autre coté, je sais pas trop si je dirais qu'un inversible est "réductibles"...

par **Ncdk** » 09 Déc 2015, 16:55

Ah oui merci, du coup ton exemple marche avec les polynômes hein ? :)

par **Doraki** » 09 Déc 2015, 16:59

Ah oui en effet on ne qualifie pas les éléments inversibles comme irréductibles. Je savais plus trop si c'était le cas.

Donc une fois qu'on vire les inversibles des irréductibles, on a une trichotomie
inversible - irréductible - réductible

par **Ben314** » 09 Déc 2015, 18:10

Ncdk a écrit:Ah oui merci, du coup ton exemple marche avec les polynômes hein ?

Quel exemple ? et c'est quoi qui "marche" (ou pas...) ?

par **Ncdk** » 09 Déc 2015, 18:24

"La négation de cette phrase est la définition d'irréductible, c'est que x ne peut pas s'écrire comme produit de 2 éléments non INVERSIBLES, c'est-à-dire si x = uv alors l'un des deux est INVERSIBLE."

C'était celui-là, peut-on remplacer x par un Polynôme ?

par **Ben314** » 09 Déc 2015, 19:18

A ton avis, quand on te dit qu'un truc est vrai dans n'importe quel anneau (commutatif unitaire), est ce que ça va être vrai pour l'anneau des polynômes ?

par **Ncdk** » 09 Déc 2015, 19:32

Ah oui, j'avais pas vu, merci des réponses :)

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