Elément irréductible mais non premier...

par **DedenK** » 10 Mar 2009, 23:03

1) Je vois mal comment 0 pourrait être premier dans la mesure où, pour être premier, il faut déjà diviser un produit quelconque et voir si le candidat divise l'un ou l'autre des facteurs ! Or on ne peut pas diviser a*b par 0 !!! (0*k=0<>a*b si a et b non nuls et que l'anneau est intègre, quel que soit k)

2) Par ailleurs, 0 n'est pas non plus irréductible puisque 0=0*0 et que ni 0, ni 0 n'est inversible !

par **DedenK** » 10 Mar 2009, 23:06

PS à un administrateur : Je ne reçois aucune notification par email alors que tout semble bien coché dans mes options, ainsi que lors de la rédaction des posts... Avant, je les ai toujours reçues... :-(

par **DedenK** » 10 Mar 2009, 23:07

A ThSQ : C'est toute la question... Est-ce que Z/nZ avec n composé possède cette propriété ? Et si oui, comment est-ce qu'on le montre ? Merci.

par **leon1789** » 11 Mar 2009, 08:07

DedenK a écrit:1) Je vois mal comment 0 pourrait être premier dans la mesure où, pour être premier, il faut déjà diviser un produit quelconque et voir si le candidat divise l'un ou l'autre des facteurs !

diviser un produit quelconque ???

DedenK a écrit: Or on ne peut pas diviser a*b par 0 !!! (0*k=0a*b si a et b non nuls et que l'anneau est intègre, quel que soit k)

Justement, tu viens de démontrer que 0 est premier ! ...sans même t'en apercevoir :ptdr:

Dans un anneau intègre, si a*b est multiple de 0 alors il existe k tel que a*b=0*k=0 donc (par intégrité) a=0 ou b=0 donc a est multiple de 0 ou b est multiple de 0. C'est donc que 0 est premier... D'ailleurs, un anneau intègre est un anneau dans lequel (0) est premier !

DedenK a écrit:2) Par ailleurs, 0 n'est pas non plus irréductible puisque 0=0*0 et que ni 0, ni 0 n'est inversible !

oui, là ok.

par **leon1789** » 11 Mar 2009, 08:09

DedenK a écrit:A ThSQ : C'est toute la question... Est-ce que Z/nZ avec n composé possède cette propriété ? Et si oui, comment est-ce qu'on le montre ? Merci.

As-tu compris le message 5 ? :triste:

par **DedenK** » 11 Mar 2009, 14:11

Ok, merci leon1789... Effectivement, le coup de 0 premier est bien vu !
Je vais regarder ça de près pour Z/nZ...

par **DedenK** » 11 Mar 2009, 23:13

Bonsoir,

J'ai réussi à montrer la réciproque dans Z/nZ, en utilisant le fait que "x* irréductible => x*=a* b*, avec a* inversible (et donc pgcd(a,n)=1) et b|n".

Par ailleurs, "inversible => régulier", mais la réciproque est fausse ; du moins à ce qu'on en lit sur Wikipedia. De fait, non inversible n'implique pas non régulier, a priori, mais dans ce cas précis de Z/nZ, ça marche ! Je l'ai vérifié par le calcul, en utilisant notamment ppcm*pgcd=x*n...

Reste que je n'arrive vraiment pas à passer de "x* non régulier" à "x*=a* b*, avec a* inversible et b|n"... si tant est que j'ai bien compris le terme de "associé à un diviseur de n"...
Il va de soi que c'est bien b|n et non b*|n* puisque n*=0* et que tout élément de Z/nZ est donc diviseur de n* ?! (n'est-ce pas ?)

Merci de m'aider à terminer cette démonstration... je pense que ça doit pas être bien sorcier, mais je ne vois vraiment pas, après quelques heures de recherches en vain.
Cordialement, DedenK.

par **leon1789** » 12 Mar 2009, 09:19

DedenK a écrit:Reste que je n'arrive vraiment pas à passer de "x* non régulier" à "x*=a* b*, avec a* inversible et b|n"...

indication :
x* est associé à b* lorsqu'on prend b = pgcd(x,n)

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 16:27

Bonjour,

Je n'avais pas eu le temps de regarder ces derniers jours, mais maintenant, c'est chose faite. Merci pour l'indication. J'ai réussi et cela va donc me faire (avec des questions intermédiaires), un joli exercice de colle pour un heureux élève, cette semaine ! ;-)
Dans Z/nZ : irréductible <=> premier...

Cordialement, DedenK.

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 16:29

Correction : bien entendu, pas de réciproque si l'anneau n'est pas intègre... :-(

par **ThSQ** » 16 Mar 2009, 18:36

DedenK a écrit:Dans Z/nZ : irréductible premier...

J'ai pas du tout suivi le fil mais tu es sûr de ça ?

Manuellement dans Z/6Z il n'y a aucun irréductible alors que 2,3 et 4 sont premiers (sauf erreur de calcul).

par **ThSQ** » 16 Mar 2009, 18:44

Je propose une démo de irréductible => premier dans Z/nZ et une généralisation (on doute de rien

) de mon cru.

On appelle anneau de Léon un anneau (unitaire, commutatif, pas nécessairement intègre) dans lequel tout idéal est principal.

Lemme : tout quotient d'un anneau principal est de Léon.

exercice facile laissé au lecteur (toute ressemblance avec Lang ....)

Théorème : Dans un anneau de Léon tout irréductible est premier

Corrolaire : Z/nZ est un anneau de Léon

Soit A un anneau de Léon, a,b,c dans A.

Supposons a irréductible et a | bc et montrons que a | b ou a | c

Alors (a,b) = (d).

1* Si d = a alors a | b

2* Si d != a. on a alors a = de. Comme a est irréductible d ou e est une unité.
- Si d est une unité alors (a,b) = A, 1 = ka + lb, c = kac + lbc. a divise la partie droite donc c.
- Si e est une unité a et d sont associés (a,b) = (d) = (a) et on est ramené au cas 1*

Est-ce juste ou pas ? Ton avis Léon ?

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 18:50

Hello !

J'ai corrigé, justement...
Irréductible => Premier dans Z/nZ.
Et Premier => Irréductible dans un anneau intègre, et donc jamais dans Z/nZ puisque soit c'est un corps (tout élément non nul est inversible donc ni premier, ni irréductible), soit c'est pas intègre.
De fait, dans Z/6Z, on trouve des premier non irréductibles, mais pas d'irréductibles puisque les seuls non inversibles non nuls sont 2, 3 et 4, et 2=2*4, 3=3*3, et 4=2*2).

Cordialement, DedenK.

PS : je vais voir si je trouve quand même un irréductible dans un certain Z/nZ... ça serait bête que ça n'existe pas... lool

par **ThSQ** » 16 Mar 2009, 18:54

DedenK a écrit:J'ai corrigé, justement...
Irréductible => Premier dans Z/nZ.

PS : je vais voir si je trouve quand même un irréductible dans un certain Z/nZ... ça serait bête que ça n'existe pas... lool

Oui, j'ai vu après avoir relu plus attentivement, sorry

Sauf erreur 2 est premier et irréductible dans Z/4Z.

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 19:07

Par la table, dans Z/8Z : 2 et 6 sont irréductibles.
2=1*2=3*6=5*2=7*6
6=1*6=3*2=5*6=7*2
...et c'est tout (et 1, 3, 5 et 7 sont inversibles).

Par ailleurs, 2 et 6 sont aussi premiers.
(2 ou 6)|ab => (2*k ou 6*k)=ab => ab appartient à {0,2,4,6}
Or ab=(0 ou 2 ou 4 ou 6) => a=(0 ou 2 ou 4 ou 6) ou b=(0 ou 2 ou 4 ou 6)
Or (2 et 6)|(0 ou 2 ou 4 ou 6)
Donc (2 et 6)|a ou (2 et 6)|b.

...ce qu'on a démontré semble bien marcher... loool
(surtout, on ne raisonne pas sur du vide)

par **ThSQ** » 16 Mar 2009, 19:12

Oui je suis d'accord pour Z/8Z

Z/4Z : premier = irreductible = 2
Z/6Z : premiers= {2,3,4}, irreductible = {}

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 19:13

Ah oui... pas pensé à regarder dans Z/4Z... Bah ça fait trois exemples, alors... :-D
En tous cas, dans Z/6Z, pas d'irréductible... c'est amusant. Je me demande si on trouve d'autres Z/nZ dans lesquels il n'y a aucun irréductible (à part les corps, bien évidemment !)... Qu'est-ce qu'il fait qu'il existe des irréductibles ?... On sait déjà que irréductible => non inversible => associé à un diviseur de n... mézencore ?........

(comment relancer un sujet auquel on a répondu à la question première... lool)

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 19:16

(j'en profite pour rappeler que sur cette discussion, je n'ai jamais reçu une seule notification par mail alors que je l'ai demandé... C'est très handicapant. Si jamais un administrateur passe par là.........)

par **ThSQ** » 16 Mar 2009, 19:17

Conjecture : dans Z/2pZ avec p premier impair (oui, bien vu

), il n'y a pas d'irréductible (alors qu'il y a des premiers).

C'est pas tout ça, fin de la récrée (qui c'est qui va se planter aux concours à vouloir faire le malin

)

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 19:22

Hum... Conjecture faite à partir de Z/10Z, Z/14Z, etc. ?...
Je vais regarder ça avec intérêt...
Toutefois, comme 2 est irréductible (et donc premier) dans Z/4Z, je dirais qu'il faut que p soit premier impair, non ?...

Elément irréductible mais non premier...

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