Elément irréductible mais non premier...

par **leon1789** » 16 Mar 2009, 20:05

ThSQ a écrit:On appelle anneau de Léon un anneau (unitaire, commutatif, pas nécessairement intègre) dans lequel tout idéal est principal.

Ha v'là t'y pas aut' chose ! :ptdr:

ThSQ a écrit:Théorème : Dans un anneau de Léon tout irréductible est premier

Soit A un anneau de Léon, a,b,c dans A.
Supposons a irréductible et a | bc et montrons que a | b ou a | c
Alors (a,b) = (d).
1* Si d = a alors a | b
2* Si d != a. on a alors a = de. Comme a est irréductible d ou e est une unité.
- Si d est une unité alors (a,b) = A, 1 = ka + lb, c = kac + lbc. a divise la partie droite donc c.
- Si e est une unité a et d sont associés (a,b) = (d) = (a) et on est ramené au cas 1*

Ok. Remarque : il suffit que tout idéal de type fini soit principal, et ça, ce sont les anneaux de Bézout. -> Dans un anneau de Bézout, tout irréductible est premier (EDIT : et même extrémal !)

par **leon1789** » 16 Mar 2009, 20:06

DedenK a écrit:Irréductible => Premier dans Z/nZ.
Et Premier non nul ! => Irréductible dans un anneau intègre

et donc non, pas de "donc" !! jamais dans Z/nZ puisque soit c'est un corps (tout élément non nul est inversible donc ni premier, ni irréductible), soit c'est pas intègre.

:hein: Une hypothèse "suffisante" n'est pas forcément "nécessaire". :hum:

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 20:30

Oui... premier non nul... c'est vrai. Je suis pas encore habitué. On me l'a défini par erreur comme premier devant être non nul, alors... vieux restes.

Par ailleurs, ce que je voulais dire, c'est que, certes "faux => n'importe quoi" est toujours vrai, mais c'est pas très intéressant. De fait, si Z/pZ est un corps, comme on n'a aucun élément premier non nul, c'est pas franchement utile de l'écrire, même si formellement, "Premier non nul => Irréductible" est vrai dans Z/pZ avec p premier.
J'ai envie de dire que pour la première implication, c'est pareil : dans Z/pZ corps, aucun élément n'est irréductible car tous sont nul ou inversibles, et ça n'a donc pas grand intérêt.
J'ai bon, là ?...

par **leon1789** » 16 Mar 2009, 20:33

ThSQ a écrit:Conjecture : dans Z/2pZ avec p premier impair (oui, bien vu ), il n'y a pas d'irréductible (alors qu'il y a des premiers).

Si n est sans facteur carré (2p avec p premier impair par exemple), alors Z/nZ ne possède pas d'irréductible car Z/nZ est un produit de corps (théorème chinois).

DedenK a écrit:Qu'est-ce qu'il fait qu'il existe des irréductibles ?...

Etre avec facteur carré ? si n = p^k q avec pgcd(p,q)=1 et

alors p est irréductible dans Z/nZ.

par **ThSQ** » 16 Mar 2009, 20:34

leon1789 a écrit:Ha v'là t'y pas aut' chose ! :ptdr:

A tout seigneur ....

Ils ont un petit nom les anneaux (pas forcément intègre) dans lequel tous les idéaux sont principaux ???

leon1789 a écrit:Ok. Remarque : il suffit que tout idéal de type fini soit principal, et ça, ce sont les anneaux de Bézout. -> Dans un anneau de Bézout, tout irréductible est premier

Bien vu, j'ai loupé la généralisation à la généralisation ....
Sinon, anneau de Bézout ça a l'air d'être seulement dans le cas intègre, non ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)

De toute façon je n'ai strictement rien trouvé sur le net ou à la docu sur les irréductibles ou premiers dans le cas non intègre

Lang dans son pavé imbuvable de 1000 pages ne parle que des premiers dans les anneaux factoriels !

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 20:36

Décidément, ce Leon a réponse à tout... LOL
Bon ben, je pensais relancer un long sujet de discussion, mais on dirait que c'est bel et bien terminé... :-)

Merci à tous pour votre aimable collaboration.
A très bientôt, DedenK.

par **leon1789** » 16 Mar 2009, 20:44

DedenK a écrit:J'ai bon, là ?...

ok ok :id:

DedenK a écrit:Par ailleurs, ce que je voulais dire, c'est que, certes "faux => n'importe quoi" est toujours vrai, mais c'est pas très intéressant.

Alors là, je suis absolument d'accord avec toi à 200 % ! Mais poussons un peu plus loin :
Es-tu d'avis qu'un raisonnement qui commence par une hypothèse impossible (i.e. fausse) n'est pas "très intéressant" ?
Et que penses-tu d'une preuve par l'absurde (qui commence bien par une hypothèse impossible) ?

par **DedenK** » 16 Mar 2009, 20:54

lool. C'est très différent.
Ce que je dis, c'est que "0=1 => la Terre est plate" n'est pas franchement intéressant, même si c'est formellement juste... Après, chacun place où il veut le curseur de l'intéressant.
La preuve par l'absurde est très différente dans la mesure où elle aboutit à une contradiction qui invalide l'hypothèse de départ.

Je voulais juste signaler que dire que dans Z/pZ avec p premier, "irréductible => premier" n'a pas franchement plus d'intérêt que de dire que dans Z, tous les irrationnels sont négatifs, voire de couleur bleue !

par **leon1789** » 16 Mar 2009, 21:13

ThSQ a écrit:Ils ont un petit nom les anneaux (pas forcément intègre) dans lequel tous les idéaux sont principaux ???

Je ne sais pas. Personnellement, je les appelle anneaux de Bézout noethériens.

ThSQ a écrit:Bien vu, j'ai loupé la généralisation à la généralisation ....

Dans un anneau de Bézout A, un irréductible a est extrémal (donc premier), ie. A/aA est un corps.
En effet, soit b un élément de A . On a = . Ainsi a=cd , donc c est inversible (et alors b est inversible modulo aA) ou d inversible (et alors b est nul modulo aA).

ThSQ a écrit:Sinon, anneau de Bézout ça a l'air d'être seulement dans le cas intègre, non ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)

Oui, visiblement la définition n'est pas fixée (comme quelques autres notions) ou c'est moi qui exagère (?). Des que possible, je regarde dans Bourbaki...
En tout cas, l'intégrité passe pas à travers les quotients, donc c'est moche de mettre ça dans le moteur. :id:

ThSQ a écrit:De toute façon je n'ai strictement rien trouvé sur le net ou à la docu sur les irréductibles ou premiers dans le cas non intègre

Par expérience personnelle, c'est assez "casse-gue..." de parler d'irréductibilité dans des anneaux pas intègres. :we:

par **leon1789** » 16 Mar 2009, 21:27

DedenK a écrit:lool. C'est très différent.

Ben pas pour moi... mais c'est une autre histoire :id:

par **leon1789** » 17 Mar 2009, 10:25

ThSQ a écrit:Sinon, anneau de Bézout ça a l'air d'être seulement dans le cas intègre, non ?
http://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_(math%C3%A9matiques)

Oui, un anneau de Bézout est intègre (Bourbaki, exercice 20 du chapitre "Diviseurs").

Dans une certaine littérature (minoritaire apparemment), on trouve des "domaines de Bézout" (domaine = anneau intègre) et des "anneaux de Bézout" (sous-entendu "pas forcément intègres").

par **DedenK** » 17 Mar 2009, 16:23

Re,

Je craque ! En fait, en refaisant les calculs, je m'étais lamentablement planté. Résultat, ma preuve ne marche pas... et j'en peux plus !!! Pitié !

Voilà ce que j'essaie de prouver : si x*=a*.d* avec d=pgcd(x,n)<>1, alors a* est inversible (en d'autres termes : pgcd(a,n)=1).

J'arrive à montrer que nécessairement, a est de la forme x'+k.n' avec k un entier entre 0 et d-1, et 1 <= x'=x/d < n'=n/d <= n-1, donc on a pgcd(x',n')=1.
POURQUOI existe-t-il k dans [0,d-1] tel que pgcd(x'+k.n',n=d.n')=1 ??!!! Maple confirme sur des centaines de valeurs de n, et ça me paraît assez évident en voyant ce qui se passerait sinon, dans la mesure où x' et n' sont premier entre eux, mais j'arrive pas à le montrer...

Merciiiii.... :'-(

par **DedenK** » 17 Mar 2009, 16:46

J'ai l'impression (mais c'est du pur feeling), qu'on n'a même pas besoin de n'=n/d, et que plus généralement, si a et b sont premiers entre eux, alors il existe toujours k dans Z tel que a+kb soit premier avec n... vous en pensez quoi ?

par **ThSQ** » 17 Mar 2009, 18:37

leon1789 a écrit:Oui, un anneau de Bézout est intègre (Bourbaki, exercice 20 du chapitre "Diviseurs").

Ok merci. Quel tome de Bourbaki ?

par **ThSQ** » 17 Mar 2009, 18:41

DedenK a écrit:J'ai l'impression (mais c'est du pur feeling), qu'on n'a même pas besoin de n'=n/d, et que plus généralement, si a et b sont premiers entre eux, alors il existe toujours k dans Z tel que a+kb soit premier avec n... vous en pensez quoi ?

k = n / pgcd(n,a), non ?

par **ThSQ** » 17 Mar 2009, 18:44

DedenK a écrit:Je craque ! En fait, en refaisant les calculs, je m'étais lamentablement planté. Résultat, ma preuve ne marche pas... et j'en peux plus !!! Pitié !erciiiii.... :'-(

Pkoi tu reprends pas la preuve avec les idéaux ?

par **ThSQ** » 17 Mar 2009, 19:07

DedenK a écrit:il existe toujours k dans Z tel que a+kb soit premier avec n...

Overkill mais d'après Dirichlet il y a une infinité de nombres premiers parmi a+kb donc c'est vrai.

par **DedenK** » 17 Mar 2009, 19:28

...parce que c'est pas au programme de MPSI... :-(

Mais je viens de trouver en raisonnement direct, si on suppose que x* est irréductible plutôt que seulement non inversible, et c'est tout ce dont j'ai besoin pour l'implication irréductible => premier (x* irréductible => x* associé à d* où d=pgcd(x,n)).

Cordialement, DedenK.

PS : intéressant, ce coup de Dirichlet... je serais curieux de savoir le montrer (pour la colle de l'an prochain sur l'arithmétique... :-D). En tous cas, je suis pas aussi fort que lui car j'ai passé quelques heures en vain (j'avais bien remarqué qu'on avait toujours un nombre premier n'entrant pas dans la décomposition de n, à un moment !!!)

par **DedenK** » 17 Mar 2009, 19:32

Petite discussion qui vient de me refroidir quant à mon idée d'en faire un sujet de colle de MPSI, l'an prochain : http://www.ilemaths.net/forum-sujet-236016.html...

:-D

par **leon1789** » 17 Mar 2009, 19:47

ThSQ a écrit:Ok merci. Quel tome de Bourbaki ?

Algèbre commutative, chapitre 7

Dans ces mêmes exos, on trouve aussi une définition des anneaux de Prüfer (que je croyais aussi non intègres !!! Je ne comprends plus rien :cry:

)

Elément irréductible mais non premier...

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