Irrationalite de sqrt(6)

par **praud** » 14 Fév 2007, 22:42

Comment montrer que

est irrationel par l'absurde en sachant que

et

sont irrationnels.

Supposons que

est rationel.Donc il existe P et Q
tel que

avec P

et

.En elevant au carré,on obtient

.D'ou

.
Alors p² est un multiple de 6(donc paire et multiple de 3).

Apres je ne sais pas comment continuer la demonstration.

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 22:44

bonsoir

on peut suposer p et q premiers entre eux

p^2 est pair donc p l est puis q^2 sera pair puis q aussi absurde

par **praud** » 14 Fév 2007, 22:51

Comment en deduire que q²est paire?

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 22:53

p = 2p ' avec p ' entier

2p ' ^2 = 3 q ^2 et 2 divise 3q^2 donc q^2 donc q

par **praud** » 14 Fév 2007, 23:03

2 divise 3q² mais comment,on en deduit qu'il divise q².

par **fahr451** » 14 Fév 2007, 23:06

2 est premier avec 3 donc il divise q^2 ( gauss)

par **praud** » 16 Fév 2007, 10:53

J'ai trouve une autre demonstration mais je sais pas si elle est juste:

Supposons que

est rationel.Donc il existe P et Q(P et Q premiers entre eux)tel que

avec P

et

.En elevant au carré,on obtient

.D'ou P²=6Q².
Et la il y a 4 cas possible
1/P et Q sont pairs tous les 2(impossible car P et Q sont premiers entre eux)
2/Q pair et P impairs ,impossible car 6Q²=2*3q² pair alors P² serait pairs.
3/P et Q sont impairs tous les 2(impossible car 6Q² est pair alors que P² serait impairs.
4/donc supposon que Q impairs et P pairs,donc on peut ecrire Q=2*t+1 avec t

et P=2*u avec u

.
On a donc
6Q²=6(2*t+1)²=24t²+24t+6 et P²=(2u)²=4u².
On obtient 24t²+24t+6=4u².En divisant par 2, on obtient 12t²+12t+3=2u².
Egalite impossible car 2u² est pair alors que 12t²+12t+3 est impair car 12t²+12t+3=2(6t²+6t+1)+1.

Donc

n'est pas rationnel

par **fahr451** » 16 Fév 2007, 11:01

quid de celle que je t ai proposée?

par **Alpha** » 16 Fév 2007, 11:38

Salut, ça ne marche pas seulement avec 6, mais aussi avec tout nombre qui n'est pas un carré.

En fait, la racine carrée d'un nombre entier est soit un entier, soit un irrationnel. Si le nombre en question n'est pas un carré, ça veut dire que dans sa décomposition en facteurs premiers, il y a au moins un nombre premier qui est présent avec une puissance impair. Cela suffit à montrer que sa racine carrée est irrationnelle (par l'absurde, avec une démonstration similaire à celle de l'irrationnalité de racine de 2).

Cordialement, Alpha. :happy3:

par **praud** » 16 Fév 2007, 13:19

La demio que tu m'a donne est juste.Mais j'essayais d'en faire une moi-meme car quand j'ai pose la question,je n'y avais pas bien reflechi.

par **fahr451** » 16 Fév 2007, 13:21

sans blague elle était juste?

par **Alpha** » 18 Fév 2007, 13:10

Hihi !!!

Heureusement que le demandeur est là pour dire au correcteur que sa démo est juste! :ptdr:

Humoristiquement vôtre :lol4:

Irrationalite de sqrt(6)

irrationalite de sqrt(6)

Qui est en ligne