Irrationalité du nombre e

par **andalous** » 09 Sep 2006, 12:37

salut il y a juste une question a cet exercice ou je bloque j'aimerais que vous m'aidiez merci:

pour n entier naturel différent de zero, on note Un=Somme(1/k!) avec k qui prend les valeurs de 0 à n. et Vn = Un + 1/(n*n!)

1.Montrer que Un est strictement croissante et Vn strictement décroissante

2.Montrer que ces deux suites convergent vers une limite commune l

3.montrer que l n'est pas rationnel ( indication: On pourra écrire l=p/q sous forme irreductible puis encadrer l par Uq et Vq et aboutir à une contradiction

voila il reste des questions mais la seule question ou je bloque et la question 3. Merci d'avance.

par **tize** » 09 Sep 2006, 12:41

on a

il n'y a plus qu'à multiplier partout par q pour trouver une contradiction...

par **Flodelarab** » 09 Sep 2006, 12:47

facile!

Tu a un encadrement de l jusqu'au rang n.
multiplie moi tous les membres de l'encadrement par n! (factorielle)

n!l est-il un entier?
Que conclure ?

par **tize** » 09 Sep 2006, 12:51

oui n! j'ai q, pardon ...

par **andalous** » 09 Sep 2006, 13:04

si on multiplie tout par n! le membre de gauche est un entier et celui de droite un rationel, mais que conclure je ne vois pas. a vrai dire je ne dois pas etre assez informé quand aux propriétés des rationels et irrationels...

par **Flodelarab** » 09 Sep 2006, 13:10

andalous a écrit:si on multiplie tout par n! le membre de gauche est un entier et celui de droite un rationel, mais que conclure je ne vois pas. a vrai dire je ne dois pas etre assez informé quand aux propriétés des rationels et irrationels...

A droite un rationnel ? ok mais pas n'importe quel rationnel !!!!!

l peut il etre entier entre ce rationnel et l'entier de gauche ?

par **tize** » 09 Sep 2006, 13:11

on a :

en multipliant par n! avec Uq et Vq, on a :
on a

En retranchant

et en remarquant que c'est un entier, on a:

un entier inférieur à 1/q et supérieur strictement à 0...n'hesite pas a demander si tu ne comprends pas

par **tize** » 09 Sep 2006, 13:27

J'ai remplacé mes inégalités larges par des stricts car les suites sont strictement monotones...

par **andalous** » 09 Sep 2006, 18:43

merci j'ai compris en fait on ne peut avoir un entier compris entre 0 et 1/q donc il y a contradiction et l est forcément irrationnel merci beaucoup a la prochaine

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