Démontrer l'irrationalité d'une solution d'équation

[Madmaxou]

Re-bonjour (deuxième post se la journée !).

Alors je veux juste savoir un petit quelque chose au sujet d'un énoncé :

"1) Montrer que l'équation x^3+3x-1=0 admet dans R une unique solution que l'on notera a.
2) Montrer que a n'est pas un nombre rationnel."

Aucune difficulté particulière pour le 1, mais pour le 2 la méthode m'échappe.

J'ai d'abord essayé par l'absurde en disant que si a est rationnel, il existe p et q tel que a=p/q avec q non nul.

J'ai remplacé ceci dans l'équation : (p/q)^3+3(p/q)-1=0 et je trouve :

p/q = 1+((-3p²q)^(1/3)/q))

Donc j'ai trouvé l'expression de a sous forme d'une simple équation. Mais je ne sais pas si cela suffit pour prouver et conclure quoique ce soit au sujet de l’irrationalité ! Merci de me dire si ce que j'ai fait convient ou non dans les attentes de ce type d'exercice, et quoi rajouter ou comment partir...

Merci !

[lionel52]

Si p/q avec p et q entiers premiers entre eux est solution de x^3+3x-1=0

alors p^3 + 3pq² = q^3
Soit p(p² + 3q) = q^3

p divise q donc p = 1 ou p = -1
q^3 divise p donc q = 1 ou q = -1

Soit p/q = 1 ou p/q = -1 et on voit qu'aucune des deux n'est solution

[jonses]

"1) Montrer que l'équation x^3+3x-1=0 admet dans R une unique solution que l'on notera a.
2) Montrer que a n'est pas un nombre rationnel."

Salut,

En partant de ce que tu as fait :

Donc on suppose que a est rationnel, donc on dispose de et de tel que : et (donc et

De plus comme a est solution de l'équation d'inconnue réelle x : on a :



donc (relation (1)) et (relation (2))

De (1) on tire que or donc par le théorème de gauss donc ou

De (2) on tire que or donc par le théorème de gauss d'où car q est un entier positif.

En somme on a ou qui ne sont clairement pas solution de l'équation

(mince j'ai été trop lent :we: )

[Madmaxou]

Je n'ai pas connaissance de ce théorème de Gauss donc je ne comprends pas trop vos raisonnements :/

[Madmaxou]

Je m'explique, je trouve bien :

p²+3q²=q^3/p
q²-3pq=p^3/q

Mais je ne vois pas du tout comme poursuivre avec ça... je ne comprends pas vos démarches et vos raisonnements ! Mais je comprends juste que vu que p/q est sensé être irréductible, c'est logique que PGCD (p,q)=1

[jonses]

Je n'ai pas connaissance de ce théorème de Gauss donc je ne comprends pas trop vos raisonnements :/

ça va être dur sans le théorème de Gauss... Est-ce que tu as eu des cours d'arithmétique lorsque tu as reçu cette question ?

Mais je comprends juste que vu que p/q est sensé être irréductible, c'est logique que PGCD (p,q)=1

Ce résultat est très utile pour résoudre l'exo parce qu'il te permet d'utiliser...le théorème de gauss...
Mais je trouve que c'est un peu bizarre que tu n'aies pas vu ce théorème alors qu'on te donne un exo le nécessitant (en tout cas, si on veux le mener à bien sans démontrer des choses assez compliquées)

[Madmaxou]

Bah je n'ai pas vraiment eu de complément depuis l'année dernière au sujet de l'arithmétique ! Et ce début de première année de BCPST ne m'a pas donné l'occasion de voir ce théorème, donc je suis un peu perdu avec cet exercice ! Mais expliquez moi toujours, un théorème appris n'est jamais perdu ! :)

[jonses]

Bah je n'ai pas vraiment eu de complément depuis l'année dernière au sujet de l'arithmétique ! Et ce début de première année de BCPST ne m'a pas donné l'occasion de voir ce théorème, donc je suis un peu perdu avec cet exercice ! Mais expliquez moi toujours, un théorème appris n'est jamais perdu !

Ah oui donc, si tu n'as pas été en spé-math en terminale, c'est normal que tu n'aies pas vu ce théorème.

Bon le théorème est assez simple à retenir :

Soit :

Si et

alors

Pour le démontrer, (pas de manière trop compliqué, en tout cas, comme les gens en spé-math l'ont vu) il suffit d'utiliser le théorème de Bézout, mais si tu ne l'as vu non plus...

[Sourire_banane]

ça va être dur sans le théorème de Gauss... Est-ce que tu as eu des cours d'arithmétique lorsque tu as reçu cette question ?



Ce résultat est très utile pour résoudre l'exo parce qu'il te permet d'utiliser...le théorème de gauss...
Mais je trouve que c'est un peu bizarre que tu n'aies pas vu ce théorème alors qu'on te donne un exo le nécessitant (en tout cas, si on veux le mener à bien sans démontrer des choses assez compliquées)

Le théorème de Gauss c'est un nom un peu pompeux pour un théorème qui se comprend de manière intuitive dans Z.
Il dit que si un truc a divise un produit de deux nombres b et c, s'il ne divise pas l'un il divise forcément l'autre. Ca se voit aisément en faisant une décomposition en nombres premiers et ça se montre en utilisant le fait que la relation "a ne divise pas b" s'écrit aussi "PGCD(a,b)=1".

[jonses]

Le théorème de Gauss c'est un nom un peu pompeux pour un théorème qui se comprend de manière intuitive dans Z.

j'avoue que c'est pompeux, mais sur une copie il est vivement conseillé de faire référence à un théorème lorsqu'on l'utilise

Il dit que si un truc a divise un produit de deux nombres b et c, s'il ne divise pas l'un il divise forcément l'autre.

En fait il n'est pas si évident, parce si un entier divise un produit de deux entiers b et c n'implique pas que s'il ne divise pas l'un alors il divise forcément l'autre

exemple 6 divise 36 car 36=6*6 mais 6 ne divise ni 4 ni 9 et pourtant 36=9*4

Ca se voit aisément en faisant une décomposition en nombres premiers et ça se montre en utilisant le fait que la relation "a ne divise pas b" s'écrit aussi "PGCD(a,b)=1".

6=2*3 et 4=2*2 donc pgcd(6,4)=2 et 6 ne divise pas 4

[Madmaxou]

Merci de ces renseignements !

Mais pour en revenir à l'exercice, je n'ai pas compris, même en lisant vos commentaires, la manière de trouver p=1 ou -1 et q=1 !

[Sourire_banane]

j'avoue que c'est pompeux, mais sur une copie il est vivement conseillé de faire référence à un théorème lorsqu'on l'utilise



En fait il n'est pas si évident, parce si un entier divise un produit de deux entiers b et c n'implique pas que s'il ne divise pas l'un alors il divise forcément l'autre

exemple 6 divise 36 car 36=6*6 mais 6 ne divise ni 4 ni 9 et pourtant 36=9*4



6=2*3 et 4=2*2 donc pgcd(6,4)=2 et 6 ne divise pas 4

Oui c'est vrai j'ai dit n'importe quoi...

[jonses]

Oui c'est vrai j'ai dit n'importe quoi...

NON !! Tu dis pas n'importe quoi ! On peut se tromper et c'est en se trompant qu'on apprend (oui oui j'ai piqué ça à Ben314...)

L'arithmétique peut être parfois vicieux (ou vicieuse, enfin je sais pas si c'est féminin ou masculin)

[Sourire_banane]

NON !! Tu dis pas n'importe quoi ! On peut se tromper et c'est en se trompant qu'on apprend (oui oui j'ai piqué ça à Ben314...)

L'arithmétique peut être parfois vicieux (ou vicieuse, enfin je sais pas si c'est féminin ou masculin)

Non non je connais ce théorème mais cela fait depuis tellement longtemps que je l'ai pas utilisé que j'ai osé dire de la merde en oubliant les hypothèses d'utilisation, etc. ^^ Bien sûr cela arrive mais cette fois c'était si ridicule, comme quoi je parle trop souvent avant de réfléchir.

[jonses]

Merci de ces renseignements !

Mais pour en revenir à l'exercice, je n'ai pas compris, même en lisant vos commentaires, la manière de trouver p=1 ou -1 et q=1 !

p est un entier relatif et la relation (à lire : a divise b) est une relation d'ordre (partiel) sur Z

or dans cette exo on remarque que donc et de plus et donc par l’anti-symétrie de cette relation d'ordre :

p=1 ou p=-1

Pour q même raisonnement, sauf que q est positif, donc q=-1 est exclu


Mais en plus simple :zen: comme on dispose de tel que donc k=1 ou k=-1 (parce que sinon ça aurait absurde) et si k=1 alors p=1 et si k=-1 alors p=-1

[jonses]

Non non je connais ce théorème mais cela fait depuis tellement longtemps que je l'ai pas utilisé que j'ai osé dire de la merde en oubliant les hypothèses d'utilisation, etc. ^^ Bien sûr cela arrive mais cette fois c'était si ridicule, comme quoi je parle trop souvent avant de réfléchir.

Ah si tu verrais mes messages sur ce forum (ou même si tu m'écoutais en cours...) je dis aussi de belle âneries :lol3:

[Losange]

Si p/q avec p et q entiers premiers entre eux est solution de x^3+3x-1=0

alors p^3 + 3pq² = q^3
Soit p(p² + 3q) = q^3

p divise q donc p = 1 ou p = -1
q^3 divise p donc q = 1 ou q = -1

Soit p/q = 1 ou p/q = -1 et on voit qu'aucune des deux n'est solution

C'est la démonstration la plus simple que je vois.

Il n'y a absolument pas besoin du "théorème de Gauss" ici.

[jonses]

C'est la démonstration la plus simple que je vois.

Il n'y a absolument pas besoin du "théorème de Gauss" ici.

Bah en fait si, il l'a utilisé deux fois... regarde bien :lol3:

Il a écrit donc ou ce qui découle en fait de : et donc (ça c'est selon gauss) donc p=1 ou p=-1

[Losange]

Je vous retourne le compliment : regardez bien, il n'est pas utilisé.

[jonses]

Je vous retourne le compliment : regardez bien, il n'est pas utilisé.

Un point pour toi :lol3: C'est vrai qu'il l'a pas utilisé explicitement

(si j'ai paru insolent, je m'en excuse)