Sqrt(x+y)>=sqrt(x/2)+sqrt(y/2)

par **deugeur** » 13 Déc 2007, 15:17

bonjour,
Voila mon exercice, montrer que f( x ) = sqrt( x ) est concave. En deduire que pour x >= 0 et y >= 0 on a :
sqrt( x+y ) >= sqrt( x / 2 ) + sqrt( y / 2 )

f est concave car f''(x)= -1 / ( 4 * x * sqrt( x ) ) est négative sur R*.

Mais comment en déduire l'inégalité??????
merci

par **Quidam** » 13 Déc 2007, 15:28

deugeur a écrit:bonjour,
Voila mon exercice, montrer que f( x ) = sqrt( x ) est concave. En deduire que pour x >= 0 et y >= 0 on a :
sqrt( x+y ) >= sqrt( x / 2 ) + sqrt( y / 2 )

f est concave car f''(x)= -1 / ( 4 * x * sqrt( x ) ) est négative sur R*.

Mais comment en déduire l'inégalité??????
merci

L'inégalité est conséquence directe de la concavité ... que tu viens de démontrer !

Cela dit, tu peux aussi démontrer cette inégalité directement :

Comme cette dernière inégalité est vraie, la première aussi !

par **deugeur** » 13 Déc 2007, 15:38

merci du tuyau mais je ne vois toujours pas pourquoi l'inégalité est conséquence directe de la concavité??? est-ce que toute les fonctions concaves impliquent cette inégalité???

par **deugeur** » 13 Déc 2007, 16:01

Existe-t-il un propriété enonçant: si f est concave alors f( x + y ) >= f( x / 2 ) + f( y / 2 )

par **raito123** » 13 Déc 2007, 16:06

Je ne crois pas de plus tu ne dois pas penser de la sorte.

par **Quidam** » 13 Déc 2007, 16:50

deugeur a écrit:Existe-t-il un propriété enonçant: si f est concave alors f( x + y ) >= f( x / 2 ) + f( y / 2 )

Tu as raison ! J'ai fait une confusion ! La propriété en question de la fonction racine ne semble pas être une conséquence de la concavité !

La concavité a pour conséquence que : f((x+y)/2) > (f(x)+f(y))/2 ce qui n'est pas du tout la même chose ! J'ai dit une bêtise : mille excuses !

par **Lierre Aeripz** » 13 Déc 2007, 18:03

Si, c'est bien une conséquence de la concavité :

Sqrt(x+y)>=sqrt(x/2)+sqrt(y/2)

sqrt(x+y)>=sqrt(x/2)+sqrt(y/2)

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