Intersection de deux surfaces et gradient

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Yezu
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Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 24 Avr 2018, 08:47

Salut à tous,

Je fais un exercice qui me pose quelques soucis, et j'aimerais quelques unes de vos explications !

Je dois déterminer la représentation paramétrique de la droite tangente à la courbe d'intersection entre et au point .

Par mon cours, je sais qu'une surface (qu'on ne peut pas représenter par une fonction) de peut être décrite par :
- une équation (style sphère, cylindre, etc.)
- des surfaces de niveau d'une fonction de dans (pour la sphère par exemple : on pose ).

Encore par mon cours, l'équation du plan tangent à la surface en un point est tout simplement le produit scalaire du gradient (de la fonction dont une surface de niveau est la surface en question) évalué au point par le vecteur "position" :
.

Je me demande alors :

Si l'on définit la courbe d'intersection comme une "courbe de niveau" d'une fonction de deux variables, et qu'on exploite le même raisonnement que précédemment: est-ce que la droite tangente au point en question est tout simplement le produit scalaire du gradient de la fonction de deux variables par le vecteur position ? Le problème que j'ai avec cette démarche est que l'on obtient une droite du plan, qui ne dépend pas de z, ce qui n'a pas vraiment de sens.

Merci d'avance aux personnes qui m'expliqueront mes erreurs et la démarche effective.



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chan79
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par chan79 » 24 Avr 2018, 09:30

Salut
As-tu cherché les équations des plans tangents à chaque surface au point donné ?

Yezu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 24 Avr 2018, 09:35

Salut chan !

Hmm, il serait assez immédiat de les trouver. Est-ce que l'intersection des deux plans serait la droite tangente ?

Edit : étant donné que je connais la réponse de l'énoncé (exo corrigé dans le bouquin), je m'en vais tester ça et je vois si je trouve la même chose ! Je te tiens au courant ! À plus !

Yezu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 24 Avr 2018, 10:02

Paraboloïde :
Soit .


.

Ellipsoide :
On peut modéliser la surface par la courbe de niveau de :




.

On a alors :

Soit :

Ou encore :
.

On recherche l'intersection de ces deux plans :
on recherche donc un vecteur qui est orthogonale aux vecteurs normaux de ces deux plans => produit vectoriel ...

On trouve finalement le bon résultat ...

Yezu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 24 Avr 2018, 10:04

Ils sortent d'où tous ces <br> d'ailleurs ?

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chan79
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par chan79 » 24 Avr 2018, 12:01

ça a l'air d'aller
Les plans ont comme équations
-2x+2y-z-2=0
-4x+y+2z-9=0
tu résous avec comme paramètre z, que tu peux remplacer par k
x=(5k-16)/6
y=(8k-10)/6
z=k
On voit que (5;8;6) est un vecteur directeur de la tangente
Pour k=2, on a le point (-1;1;2)

Image

Yezu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 24 Avr 2018, 16:43

Merci à toi Chan !

nas
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par nas » 30 Avr 2020, 10:02

Bonjour, j'ai exactement la meme question mais comme formule pour la deuxieme surface g(x,y,z)=2x*2+3y*2+z*2 -9 , or j'ai beau relire votre demarche je ne la comprend pas, pouvez vous m'aidez s'il vous plait?

Yezu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 04 Mai 2020, 14:14

Salut,

Que ne comprends-tu pas dans ma démarche ?

GaBuZoMeu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par GaBuZoMeu » 04 Mai 2020, 15:06

Yezu, tu peux voir cet autre fil.

L'intervenant nas n'a pas précisé sa demande ...

Yezu
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Re: Intersection de deux surfaces et gradient

par Yezu » 04 Mai 2020, 16:54

GaBuZoMeu a écrit:Yezu, tu peux voir cet autre fil.

L'intervenant nas n'a pas précisé sa demande ...


Effectivement, d'après ce que j'ai lu sur l'autre topic; ça ne ressemble pas vraiment au topic que j'ai créé ici 2 ans de cela; d'autant plus que j'ai du mal à saisir sa question.

 

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