Calcule d'un volume entre 2 surfaces!!

[cevas]

On considère les 2 surface suivantes:
(x²+y²+z²)²=a³x
et
(x²+y²+z²)²=a z (x²+y²)
On demande de calculer le volume entre ces 2 surface.
a un param. reel.

Mon essai:

j'ai utilisé les coordonnées sphériques mais ca devient tellement compliquè!!!

[Ben314]

Salut,
Avant de me lancer dans les calculs, le "entre" ne me semble pas super clair.
A priori, tes surfaces délimitent toute les deux des volumes (bornés) V1 et V2.
Le volume "entre" les deux surfaces, c'est la différence symétrique de V1 avec V2 ?

[cevas]

Salut,
Avant de me lancer dans les calculs, le "entre" ne me semble pas super clair.
A priori, tes surfaces délimitent toute les deux des volumes (bornés) V1 et V2.
Le volume "entre" les deux surfaces, c'est la différence symétrique de V1 avec V2 ?

Il n'y a aucune indication sur celà. Je suis partie sur le fait qu'il doit y avoir une seul possibilité d'obtenir un corps entre ces 2 surfaces. Je ne vois même ni la forme ni l'intersection de ces 2 surfaces!!

[Ben314]

La première surface est une surface de révolution autours de l'axe des x et elle est contenue dans le demi-espace x>=0.
La deuxième surface est une surface de révolution autours de l'axe des z et elle est contenue dans le demi-espace z>=0.
En admettant que les volumes qu'elles bordent sont ceux définis par les inégalités correspondantes aux égalités définissant les surfaces (avec dans les deux cas (x²+y²+z²)²<=...) il est assez clair qu'aucun des deux volumes ne contient l'autre donc... le "entre" est archi. pas clair du tout...

[cevas]

Je trouve que les 2 surfaces vont s'intersecter dans le premier et quatrième octant(x et z positifs).
Je ne sais pas comment aborder le problème de l'integration!!

[deltab]

Bonjour.

Je trouve plutôt que les coordonnées sphériques facilitent à première vue les calculs, les équations des 2 surfaces s'écrivent sous la forme , la variation de r se fera entre et . La condition donne , la condition associée donnent . L'intersection des deux surfaces vérifient . Reste à espérer que l'équation permette d'exprimer en fonction de ou en fonction de . Restera le calcul des 3 intégrales répétées à mener à bien.

[cevas]

Bonjour.

Je trouve plutôt que les coordonnées sphériques facilitent à première vue les calculs, les équations des 2 surfaces s'écrivent sous la forme , la variation de r se fera entre et . La condition donne , la condition associée donnent . L'intersection des deux surfaces vérifient . Reste à espérer que l'équation permette d'exprimer en fonction de ou en fonction de . Restera le calcul des 3 intégrales répétées à mener à bien.

Bonjour et merci pour la réponse.
Moi je trouve comme intersection entre les 2 surface:.
En utilisant la transformation
pour et
Je calcule alors un triple integrale:

Je reste incertain sur l'integrale!!!???

[deltab]

Bonjour.

Bonjour et merci pour la réponse.
Moi je trouve comme intersection entre les 2 surface:.
En utilisant la transformation
pour et
Je calcule alors un triple integrale:

Je reste incertain sur l'integrale!!!???

Je ne vois pas comment tu as obtenu ces bornes.

J'avais pris pour coordonnées polaires :

pour et

On n'est donc pas sur la même longueur d'ondes.
Si l'on reprend tes coordonnées , la 1ère surface (x²+y²+z²)²=a³x aura pour équation:

La 2ème (x²+y²+z²)²=a z (x²+y²) aura alors pour équation:

L' intersection des 2 surfaces vérifie alors:

d'où

et .
On aura alors pour le volume:

où
et
On est piégé à première vue par le calcul cette intégrale triple répétée.

[Ben314]

Vu que c'est précisé dans l'énoncé que c'est un volume qu'on te demande de calculer, l'équation du truc dont on demande le volume, c'est surement pas de la forme z=... qui est l'équation d'une surface et qui a forcément un volume nul.
En plus, ton truc z=... c'est même pas l'intersection des deux surfaces vu que cette intersection est une courbe et pas une surface...


Avec tes notations pour les coordonnées polaire,
- L'équation de la première surface est avec
- L'équation de la deuxième surface est avec

En admettant que le volume à calculer soit la différence symétrique entre les deux volumes définis par et alors pour avoir l'équation de cette fameuse différence symétrique, ben faudrait savoir lequel de et de est le plus petit (ce qui dépend de et ).
Et je le redit (pour la 3em foi...) Vu la te des deux surfaces en question, je vois pas ce qu'on peut appeler le volume compris entre les deux.

Tu le tire d'où ton exo ?
- Si c'est d'un bouquin, ben tu prend un autre exo. (voire au autre bouquin...)
- Si on te l'a donné, demande à celui qui te l'a donné ce qu'il entend par "entre".

EDIT : grillé par DELTAB.
Mais de toute façon, vu la tête des deux surface (l'une de révolution autours de l'axe des x et l'autre autours de l'axe des z), j'imagine difficilement un matheux dire que la différence symétrique entre les deux volumes délimités par les surfaces en question soit le volume compris "entre" les deux surfaces.
Donc je persiste à penser que ce n'est pas ça qu'à voulu dire l'auteur de l'exo ou alors, qu'il s'est passablement gourré dans les équations...

P.S. (pour DELTAB) : dans ton paramétrage, tu fait quoi des cas où (ou bien ) est strictement négatif ?

P.S.2. (toujours pour DELTAB) : en plus, faire varier de 0 à Arcos(...), géométriquement parlant, ça correspond à rien.
Ton arcos(...) tu l'a obtenu en résolvant , ce qui correspond à chercher la courbe intersection des deux surfaces en question et je vois franchement pas pourquoi le volume "entre" les deux surfaces correspondrait à qui varie de 0 à arcos(..) (pourquoi donc 0 ???)

[deltab]

Bonjour

Vu que c'est précisé dans l'énoncé que c'est un volume qu'on te demande de calculer, l'équation du truc dont on demande le volume, c'est surement pas de la forme z=... qui est l'équation d'une surface et qui a forcément un volume nul.
En plus, ton truc z=... c'est même pas l'intersection des deux surfaces vu que cette intersection est une courbe et pas une surface...


Avec tes notations pour les coordonnées polaire,
- L'équation de la première surface est avec
- L'équation de la deuxième surface est avec

En admettant que le volume à calculer soit la différence symétrique entre les deux volumes définis par et alors pour avoir l'équation de cette fameuse différence symétrique, ben faudrait savoir lequel de et de est le plus petit (ce qui dépend de et ).
Et je le redit (pour la 3em foi...) Vu la te des deux surfaces en question, je vois pas ce qu'on peut appeler le volume compris entre les deux.

Tu le tire d'où ton exo ?
- Si c'est d'un bouquin, ben tu prend un autre exo. (voire au autre bouquin...)
- Si on te l'a donné, demande à celui qui te l'a donné ce qu'il entend par "entre".

EDIT : grillé par DELTAB.
Mais de toute façon, vu la tête des deux surface (l'une de révolution autours de l'axe des x et l'autre autours de l'axe des z), j'imagine difficilement un matheux dire que la différence symétrique entre les deux volumes délimités par les surfaces en question soit le volume compris "entre" les deux surfaces.
Donc je persiste à penser que ce n'est pas ça qu'à voulu dire l'auteur de l'exo ou alors, qu'il s'est passablement gourré dans les équations...

P.S. (pour DELTAB) : dans ton paramétrage, tu fait quoi des cas où (ou bien ) est strictement négatif ?

P.S.2. (toujours pour DELTAB) : en plus, faire varier de 0 à Arcos(...), géométriquement parlant, ça correspond à rien.
Ton arcos(...) tu l'a obtenu en résolvant , ce qui correspond à chercher la courbe intersection des deux surfaces en question et je vois franchement pas pourquoi le volume "entre" les deux surfaces correspondrait à qui varie de 0 à arcos(..) (pourquoi donc 0 ???)

Pour le problème de volume, on sous-entend le volume du domaine borné par les deux surfaces, ceci n'a de signification que si les surfaces ont pour intersection une courbe fermée, chose que je n'est pas vérifiée. Les surfaces x^2+y2=1 (cylindre d'axe Oz de rayon 1) et (x-1)^2+y^2+z^2=1 (spére centrée en (1,0,0) de rayon 1 ) ne délémitent-elles pas un volume bien défini (faire un figure) et dans le plan les deux paraboles ne délimitent-elles pas une surface bien définies.
Certaines étapes du calcul que j'ai faites n'ont pas été justifiées.

PS2: en plus, faire varier de 0 à Arcos(...), géométriquement parlant, ça correspond à rien.

ça correspond à rien. Pourquoi? C'est OUI si ce qui est dans l'arccos est en valeur absolue >1. Il y a juste un problème d'ordre qui dépendre de Comme , alors el l'arccos est défini et de plus .
Les coordonnées qu'a prises cevas ne sont pas les coordonnées sphériques.
Je vais tenter de faire le calcul en coordonnées sphériques (relis ce j'avais écrit concernant les étapes de calcul à faire et les difficultés qu'on pouvait rencontrer.

[Ben314]

Si je comprend bien ton exemple avec la boule et le cylindre, pour toi, le "entre" signifie simplement l'intersection.
C'est possible, mais ça me semble bizarre :
1) pourquoi ne pas avoir utilisé dans ce cas le mot "intersection" directement ?
2) Dans le plan lorsque l'on parle de la surface "entre" deux courbes, il me semble qu'il n'y a pas d'ambigüité : il s'agit de la différence symétrique entre les deux épigraphes des deux fonctions et pas de l'intersection des épigraphes
donc... je doute...

Si une des deux surfaces était contenu dans le volume délimité par l'autre (une sphère contenue dans une autre), je n'aurais pas d'hésitation sur le sens du "entre" qui signifierai bien la différence symétrique entre les deux volumes (et pas l'intersection), mais là... je sais pas...

Aprés, de toute façon, que ce soit l'intersection ou la différence symétrique, ton théta qui varie de 0 à arcos(...) je persiste à dire qu'il ne correspond à rien par rapport au problème.
Par exemple, si on avai rho1=1+cos(theta) et rho2=4+cos(phi) l'équation que tu as résolu, à savoir rho1=rho2 n'aurait clairement pas de solution (une des surface est contenue dans le volume délimité par l'autre).
Tu intègrerais sur quoi en rho, theta dans ce cas là ?

[Ben314]

Pour le problème de volume, on sous-entend le volume du domaine borné par les deux surfaces, ceci n'a de signification que si les surfaces ont pour intersection une courbe fermée...

Visiblement, on est absolument pas sur la même longueur d'onde concernant la compréhension de l'énoncé...
Pour toi, l'énoncé serait "sans queue ni tête si les deux surfaces en question étaient deux cercles concentrique (dont l'intersection n'est bien sûr pas une courbe fermée) ?
Et ça ne voudrait rien dire non plus dans le cas d'une sphère et d'une ellipsoïde qui se coupent suivant DEUX cercles ?

Je comprend pas ce que tu cherche à calculer...

[Ben314]

La première surface est obtenue par rotation de la courbe rouge autours de l'axe des x (= horizontal).
La deuxième surface est obtenue par rotation de la courbe bleue autours de l'axe des z (=vertical)

Perso, rien que sur le dessin en 2d, la notion de "surface comprise entre les courbes bleue et rouges" ne me semble pas super claire et vu que c'est à peu prés la même configuration en 3d...

En prenant où et

Le volume de avec est


Le volume de avec est


Le volume de l'intersection des deux parties est
où
donc, si on pose en utilisant l'invariance on a :



...

EDIT : Il y a une erreur dans le dernier calcul : dépend de donc...

[cevas]

Ben314: Je crois que la procedure est la même que quand on demande la surface entre deux courbes
(y=x² et y= -x² +3). On va determiner d'abord l'intersection entre les deux courbes (on trouve deux points mais ne va pas dire il n y a pas de surface entre deux points) et aprés on passe à l'integrale.

J'ai fait la même chose et par analogie je trouve l'intersection entre les 2 surface et je me retrouve avec:
À partir de cette èquation j'obtient les limites de

deltab: J'ai utilisé les coordonnées polaires comme on les connait de la géographie avec latitude et altitude, et toi tu utilise ceux qui se basent sur la distance à l'axe des . Je ne crois pas que ceci modifie le résultat!!(le peut être mesuré à partir du plan comme à partir de l'axe des)

[Ben314]

J'ai fait la même chose et par analogie je trouve l'intersection entre les 2 surface et je me retrouve avec:

Il me semble te l'avoir déjà dit, mais l'intersection de tes deux surface, ce n'est surement pas ça vu que z=f(x,y) ça détermine aussi une surface alors que l'intersection de tes deux surface est une courbe et pas une surface.

Je soupçonne très fortement que, partant de deux équation, tu en ait larguée une des deux en route pour je ne sais pas quelle raison, c'est à dire que tu ait écrit une c... du style (A=B et B=C) A=C ce qui est évidement faux.

P.S. Je complète le post çi dessus pour calculer les deux volumes ainsi que l'intersection des deux.

[deltab]

Bonjour.

Il me semble te l'avoir déjà dit, mais l'intersection de tes deux surface, ce n'est surement pas ça vu que z=f(x,y) ça détermine aussi une surface alors que l'intersection de tes deux surface est une courbe et pas une surface.

Je soupçonne très fortement que, partant de deux équation, tu en ait larguée une des deux en route pour je ne sais pas quelle raison, c'est à dire que tu ait écrit une c... du style (A=B et B=C) A=C ce qui est évidement faux.

P.S. Je complète le post çi dessus pour calculer les deux volumes ainsi que l'intersection des deux.

Finalement, tu es arrivé à définir le volume compris entre les 2 surfaces. Il n'est pas complétement défini par la forme et c'est ce que j'avais supposé quand j'ai voulu étudié le signe de .
Le volume que tu as considéré est une réunion de 2 volumes , chacun pouvant être défini par la forme définie plus haut. Pour la partie supérieure de V , est la surface définie par la rotation de la courbe en bleu, \ est la surface définie par la rotation de la courbe en rouge. Pour le volume inférieur ,,

[deltab]

@Ben314
donc, si on pose en utilisant l'invariance on a :

Je n'ai pas suivi tout le calcul intégral fait mais bizarre comme résultat. Celui-ci dépend de et

[Ben314]

Finalement, tu es arrivé à définir le volume compris entre les 2 surfaces....

J'ai bien précisé (en gras) que V3, c'est le volume de l'intersection des deux trucs au dessus, mais perso.,ça continue à me sembler très peu plausible qu'on emploi le terme "volume contenu entre les deux surfaces" pour parler de l'intersection.

Sur le dessin en 2d, si on te parlait de "la surface comprise entre la courbe rouge et la bleu", ça représenterais l'intersection pour toi ? (i.e. ce ui est à l'intérieur de la partie droite de la courbe bleue)

Donc, je ne pense pas que la réponse attendue à la question soit le V3 que je calcule...

[Ben314]

Je n'ai pas suivi tout le calcul intégral fait mais bizarre comme résultat. Celui-ci dépend de et

Effectivement... :hum:

La deuxième intégrale c'est
qui ne me semble pas triviale à calculer non plus...

Mais je le redit : je trouve ça plus que bizare d'employer le terme "volume entre les deux surfaces" pour parler de l'intersection.
Je suis de plus en plus persuadé qu'il y a un "bug" dans l'énoncé.