Défi sur les surfaces !

par **fourize** » 29 Nov 2009, 21:35

bonsoir !

ceci est un defi à relever, je ne connais pas la réponse mais il merite une reflexion . voici donc l'ennocé:

monter qu'une surface n'est pas un ouvert de

des pures conneries, j'en reconnaitrai cas même

bonne courage à tous !

par **Nightmare** » 29 Nov 2009, 21:48

Salut,

qu'appelles-tu "surface" ici?

par **fourize** » 29 Nov 2009, 23:29

salut Nightmare :-)

Nightmare a écrit:qu'appelles-tu "surface" ici?

je suis vraiment mort, mais je te donne la définition d'une surface...

"définition" a écrit:Une surface est le graphe representatif d'une application differentiable, injective X: U IR² telle que pour tout le rang de la differentielle dX (x,v) est égale à 2 .

par **Nightmare** » 29 Nov 2009, 23:32

Une surface est une application ? Bizarre... Je pense plutôt qu'une surface est le graphe d'une application telle que tu l'as décrite.

par **Ben314** » 29 Nov 2009, 23:38

Je pencherais plutôt pour l'image d'une telle application....
Ce qui m'étonne un peu c'est que l'on puisse montrer ça sans aucune condition sur le U de départ (connexe,...)

P.S. peut on parler de "f différentiable" sans que U ne soit ouvert ?
P.S.2 je suis à peu prés certain qu'en fait f(U) est d'intérieur vide...
P.S.3 sauf que cela revient exactement au même que de montrer que f(U) n'est pas ouvert....

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 00:03

J'ai un peu triché en vérifiant sur wikipédia, mais c'est une application du théorème de Sard : en fait f(U) est de mesure nulle...

par **Nightmare** » 30 Nov 2009, 00:09

Il doit quand même y avoir plus "simple" que Sard !

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 00:17

Je pense, mais reconnait que ce qui vient à l'esprit en premier, c'est quand même la notion de variétés plongées...
J'essaye de me rappeller SANS SARD quels sont les argument les plus simples pour montrer qu'il n'y a pas de fonctions type Peano différentiables....

par **ffpower** » 30 Nov 2009, 00:35

tite remarque en passant. Il faut prendre cette definition localement seulement. Car sinon, avec cette def, la sphere de R^3 n est pas une surface, ce serait con quand même^^

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 00:44

O.K., O.K.,
mais comme le problème est local cela ne change pas grand chose....
Par contre, ce qu'il manque par rapport à une variété plongé de dim 2 (c'est en général à ca que je pense quand on parle de "surface") c'est l'hypothése que, dans le R^3 d'arrivé, il existe un ouvert W centré en f(Xo) tel que

pour un certain voisinage V de Xo...

par **ffpower** » 30 Nov 2009, 01:11

et bien là, la def donne que la surface est localement difféomorphe à R²,ce qui est une definition equivalente si je ne m abuse..

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 01:20

Ben non, justement, il manque le coté "local à l'arrivée" :
Une courbe paramétrée f de ]0,infini[->R^2 injective, différentiable....
telle que la limite de f en 0 soit égale à f(1) par exemple N'EST pas une variétée plongée de dim 1.
Cette condition dans la def. des variété plongées permet de montrer (trivialement) qu'une variétée de dim n plongée dans R^m (avec m>n) est de mesure nulle, d'interieur vide...

L'idée de la définition, c'est qu'un "huit" dans R^2, au voisinage du "point double", c'est pas une variété de dim 1.
Avec la déf. que l'on prend ici un "huit_de_R²"x[0,1] est bien une surface...

P.S. Même avec cette définition "un peu bancale" l'image est forcément d'interieur vide et de mesure nulle (le fameux Th. de SARD) mais il doit y avoir plus simple [c.f. Nightmare ] et je pense qu'il a (comme toujours) raison.

par **ffpower** » 30 Nov 2009, 01:21

Oui, tu as raison. A mon avis, la definition donnée ici est bizarre..

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 13:50

A force, je me demande s'il n'y aurait pas un argument LEGEREMENT plus simple (en supposant que f est lipschitzienne) : la notion de dimension (par exemple de Hausdorff)
Si ma mémoire est bonne (????) dim(f(U))<=dim(U) pour f de classe C^1 donc f(U) ne peut contenir aucun ouvert.
A la place de la dim. de Hausdorff on peut prendre une des def. de la dimension fractale, ca doit aussi marcher...

par **fourize** » 30 Nov 2009, 13:57

re,

ffpower a écrit:Oui, tu as raison. A mon avis, la definition donnée ici est bizarre..

OUI, OUI ! en plein milieu de la nuit, je me suis pas relu ;-)

effectivement c'est la surface est le graphe de la fonction X que j'ai donné dans la definition !

au passage, si ça peut aider: on ne peut pas dire qu'une sphere est une surface de façon globale. il faut la diviser en 6 morceaux (locale) pour parler de surface ...

PS. j'ai une idée d'utilser les boules ouverts, mais je vous en parle dés que j'aurai quelque chose de concret ! d'ici la bonne courage à tous

par **kazeriahm** » 30 Nov 2009, 14:10

Quels sont les surfaces qu'on manque en prenant comme définition d'une surface l'ensemble des (x,y,z) tels que f(x,y,z)=0, ou f est une fonction disons continue ? Bon évidemment si on prend cette définition une surface est clairement fermée, mais j'ai du mal a voir ce qu'on loupe.

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 16:23

Je pense que ce que tu "loupe", c'est que, si f est identiquement nulle sur un "gros morceaux" de R^3, ca risque de faire une "grosse surface" !!!
Au mini, on rajoute en général f différentiable de différentielle surjective en tout point...

P.S. Je comprend pas cette histoire de graphe : le graphe d'une fonction de R->R^3 est une partie de R^4.
De plus le graphe d'une fonction y compris complètement discontinu ne risque pas de contenir un ouvert : pour chaque x, il y a un seul y(=f(x)) tel que (x,y) soit dans le graphe.....

par **fourize** » 30 Nov 2009, 22:06

bonsoir !
ATTENTION Ben314 !

c'est la representation d'une application de IR² vers IR^3 ( pas de IR vers ...)
on les represente en générale comme suit:
S: (x,y)

- je propose de prendre une boule:
en fait: supposons qu'il existe une boule ouverte de centre (x,y,f(x,y)) qui appartient donc à la surface et contenant la totalité de la surface. et de montrer par contradiction que la boule n'existe pas. (car ici la surface est de dimension 2, et donc forcement pas un ouvert de IR^3)
après je me demande comment écrire tout ça en langage mathématique ...

- ou encore supposer qu'une surface est un ouvert de

, et montrer par contradiction ! ça vous semble logique !?

par **Ben314** » 30 Nov 2009, 22:56

Bonsoir,

c'est la representation d'une application de IR² vers IR^3 ( pas de IR vers ...)

OkOk, donc le graphe est une partie de... R^5

on les represente en générale comme suit:
S: (x,y)

OkOk. Dans mon post, x représentait un élément de R^2 (ou d'ailleurs de R^ce_que_tu_veut) et y de R^3 (ou de R^encore_plus_comme_tu_veut).
De tout façon, cela ne modifie en rien l'argument : un graphe de ce que tu veut ne peut être ouvert (le fait qu'il soit ou pas fermé est par contre interessant).

par **fourize** » 01 Déc 2009, 08:50

voila ce que je vous propose:

supposons qu'une surface S est un ouvert de IR³ , daprès la definition d'une ouvert: il existe r>0 tel que pour tout A(x,y,f(x,y)) appartenent à S, B(A,r) S . ce qui est impossible puisque dans IR³ les boules sont
des sphères, alors que dans une surface les boules sont des cercles.
donc S n'est pas un ouvert de IR³

voila ce que j'ai puis faire, vous en pensez quoi !?

Défi sur les surfaces !

défi sur les surfaces !

Qui est en ligne