Extremum local et gradient ; fonction de deux variables

[les TPEistes]

Bonsoir les matheux !

J'ai quelques petites questions sur un exercice avec une fonction de deux variables. J'ai néanmoins débuté ! Voici :

Soit et f la fonction définie sur D par :

1/ Représenter l'ensemble D

J'ai dit que c'était l'espace délimité par le triangle formé par les points (-1, -1), (-1, 1) et (1,1).

2/ Montrer que f admet un maximum et un minimum sur D.

D est un fermé
f est définie sur D et continue sur D
Donc f(D) est un fermé et un borné, et f atteint ses bornes.

3/ Soit . Montrer que f n'admet pas d'extremum sur O.

Aucune idée de comment on peut s'y prendre...

4/ Déterminer le maximum et le minimum de f sur D.

Idem...

Merci de votre aide et de vos conseils :we:


Un théorème est rappelé :

Soit O un ouvert de R² et f : O -> R de classe C1.
Si f admet un extremum local en M_0, alors grad f_M_0 = 0

[fatal_error]

salut,

ben tu peux calculer le gradient de f en tout point. Si en tout point c'est différent de 0, alors ca veut dire qu'en tout point, ya pas dextremum.

[les TPEistes]

Merci de ta réponse, fatal_error.

J'ai trouvé que le seul point ou le gradien est égal à 0, c'était l'origine du repère.

Or, ce point n'appartient pas à O, donc pas d'extremum pour O.

Mais même si j'ai un extremum, je ne sais pas comment aboutir et trouver le minimum et le maximum de f sur D...

[fatal_error]

Effectivement, jetais parti pour dire, avec la facon dont etait posée la question que on a un extremum et en plus unique, ca veut dire que si on trouve (x_1,y_1) de D tel que f(0,0)<=f(x_1,y_1), ca veut dire que lepoint M0 ben c'est pas un maximum. Si c'est pas un maximum, ben c'est un minimum.

Mais

Une autre manière mais t'as ptet pas vu, c'est d'utiliser la hessienne. Comme c'est pas dans le but de lexo (enfin pas appremment) jte propose les grandes lignes.
cf wiki pour plus daide.

par symetrie pareil pour y.


D'ou
donc deux valeurs propres pour H : une positive, une negative
H n'est donc ni positive, ni négative. Elle admet donc un point selle cad c'est ni un maximum, ni un minimum parce qu'en gros quand t'arrives d'un coté ca croit, et de l'autre, ca decroit.

Pour visualiser ca : un peu de formes quadratiques :

qu'on diagonalise avec les val propres -1 et 3
avec X=PX' et P qu'on a orthonormée

donc en gros c'est une rotation du repère.
et on obtient

Plus x' tend vers 0 et plus la quantité Q(x,y) est grande.
Plus y' tend vers 0 et plus la quantité Q(x,y) est petite.

donc ni maximum,ni minimum.
sauf erreur.

[les TPEistes]

D'accord.

Je pense pas que c'est ce que demandait l'exercice, mais ça peut être intéressant je regarderai ça.

Merci ;)

[fatal_error]

eventuellement, pe que pour faire plus dans lexo, on peut reecrire f :

a partir de la, on pose x'=x-2y, y'=y
et on obtient

Puis par même raisonnement, quand x' diminue vers 0, f diminue, alors que quand y diminue vers 0, f augmente.
cad quand x tend vers 2y (y=0), f diminue, alors quand quand y tend vers 0 (x=0), f augmente.

[les TPEistes]

En fait, ça consiste à dire qu'il n'y a pas d'extremum sur O. Ensuite on étudie sur les trois segments et on détermine le(s) maximum(s) et minimum(s).

Merci en tout cas.