Interprétation topologique

[Nightmare]

Salut à tous :happy3:

Je peux lire dans mon cours le résultat suivant :

Soit G un groupe et K/k une extension galoisienne de G.

Alors où la limite projective est suivant les groupes de Galois Gal(K/F) avec F une extension finie.

Ma question est la suivante : Quelle interprétation topologique a-t-on de ce résultat?

[yos]

C'est K/k une extension galoisienne de groupe de Galois G (sinon ça veut rien dire je pense).
Plus bas c'est F extension finie de k j'imagine.
Du coup Gest isomorphe à la limite projective des Gal(F/k) qui eux sont finis. Ton écriture avec le quotient me semble plus compliquée.
Cette limite projective entraîne que G est compact (ça doit venir de Tychonoff) et aussi totalement discontinue (composantes connexes triviales).
Un tel groupe est dit profini (il est pas très loin d'être fini on va dire).

[Nightmare]

Salut Yos et merci de ta réponse, c'est exactement ce qu'il me fallait !

[Nightmare]

Une question cependant, de quelle topologie munit-on G ?

[yos]

Euh...
Je crois qu'on n'a pas le choix pour un groupe topologique non?
C'est toujours la moins fine qui rende continue la multiplication et l'inverse.
Sinon, la limite projective est valable en tant que limite projective de groupes topologiques. Les uns étant finis, ils ont la topologie discrète. On peut peut-être considérer que G hérite d'une topologie par ce biais. Je pense que c'est en ce sens que profini se rapproche de fini.

[Nightmare]

Oui bien sûr mais je disais ça car il semblerait qu'on obtienne de bons résultats en prenant pour ouverts les x.Gal(K/F) où x est un élément de G et F une extension galoisienne finie de k. Cette topologie a-t-elle un nom particulier?

[mathelot]

bonjour,

j'y connais rien :hum:
Yos répond déja à la question naturelle que l'on se pose: la topologie
sur la limite projective semble plus fine que la topologie produit.

Dans le bouquin de Douady "algèbres et théories galoisiennes"
il y a une propriété de commutation qui semble lier topologie et algèbre
2.8.6 page 53
à gauche, on est dans la catégorie des espaces topologiques Top
et à droite dans la catégorie des ensembles.

Soient un système projectif d'ensembles finis
et Y un ensemble fini. on a



Peux-t-on remplacer Ens par la catégorie des groupes Gr ?

Night, par curiosité, que fait-on avec ces outils ?
- on prolonge des identités algébriques par continuité ?
- on crée des revêtements d'espaces topologiques ?
- ça permet de considérer tous les groupes d'une même famille
dénombrable en un seul tenant ?

question
si on considère la droite numérique réelle, les nombres , considérés
par leur développement dyadique, ont une structure totalement discontinue,
avec des composantes connexes réduites aux points, ce qui empêche pas
d'avoir une autre structure continue de "droite réelle".
Peux-ton avoir le même phénomène ?

[yos]

Il faudrait que je revois ça car j'ai pas les idées assez claires.

Un truc essentiel : on met pas une topologie pour le plaisir, mais pour que les théorèmes de Galois subsistent avec des extensions de degré infinie (la bijection entre les sous-groupes et les corps intermédiaires devient bijection entre les sous-groupes fermés et les corps intermédiaires).

[mathelot]

la bijection entre les sous-groupes et les corps intermédiaires devient bijection entre les sous-groupes fermés et les corps intermédiaires.

et quand on quotiente par un espace fermé, c'est pour que le quotient ait une topologie séparée ? :we:

[yos]

G est compact de toute façon.